wyznaczyć liczby m

[kujdak]

Wyznacz wszystkie liczby m, dla których istnieją dwie liczby rzeczywiste, których suma i iloczyn są równe m.

\(\displaystyle{ a \ i \ b R \\

\begin{cases} a+b=m \\ ab=m \end{cases} \\
\begin{cases} a=m-b \\ (m-b)b=m \end{cases} \\
m=\frac{b^{2}}{b-1}}\)


tak ?

[Brzytwa]

Weźmy sobie wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+Ax+B}\). Niech jego miejscami zerowymi będą szukane liczby. Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy \(\displaystyle{ A=-m}\) i \(\displaystyle{ B=m}\). Zatem nasz wielomian ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-mx+m}\). Wielomian ten ma mieć 2 miejsca zerowe, czyli \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ m^{2}-4m>0}\)
\(\displaystyle{ m \in (-\infty,0) \ \cup \ (4,\infty)}\)

[mat1989]

Brzytwa, a co w naszym wypadku oznaczają A i B?
A=a+b
B=ab
tak to można rozumieć?
i skąd wiedziałeś, że trzeba wziąć taki wielomian a nie na przykład \(\displaystyle{ Ax^2++x+B}\).

[Brzytwa]

A i B są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wynika to z ogólnej postaci wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...a_{1}x+a_{0}}\). Jednak we wzorach Viete'a w mianowniku mamy \(\displaystyle{ a_{n}}\), dlatego dla uproszczenia zapisu bardzo często przyjmuje się \(\displaystyle{ a_{n}=1}\).

[RyHoO16]

Ponieważ ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ a+b= \frac{-b}{a}= -m}\) oraz \(\displaystyle{ ab= \frac{c}{a}=m}\)dlatego dobranie współczynników \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) jest właśnie takie.


A tak poza tym bardzo ciekawy sposób na zadanie

[mat1989]

no tak ciekawy, a wie ktoś jak to łatwiej rozwiązać?

[kujdak]

jest jeszcze inne.
jeżeli w moim układzie było tak:
\(\displaystyle{ (m-b)b=m\\
-b^{2}+mb-m=0\\
b^{2}-mb+m=0\\
\Delta \geqslant 0
\Delta = m^{2}-4m \geqslant 0\\
m(m-4) \geqslant 0\\
\\
m \in (- \infty ;0> \cup )}\)

[Brzytwa]

Delta musi być dodatnia, bo mają być 2 liczby rzeczywiste.

[kujdak]

no mam delte dodatnią. czy nie o to chodzi ?

[Wasilewski]

Nie, u Ciebie jest delta nieujemna.

[Spykaj]

No ale pomyśl przecież dla czwórki odpowiedź istnieje
2+2 = 4
2*2 = 4

Przecież to nie muszą być różne liczby.

Delta >=0

[mat1989]

Spykaj, ale to raczej, jest nie do Wasilewskiego, skierowany post. Tylko do Brzytwy...

[Brzytwa]

Wyznacz wszystkie liczby m, dla których istnieją dwie liczby rzeczywiste

Biorąc 2,2 nie mamy dwóch liczb rzeczywistych tylko jedną.

[mat1989]

a może mi ktoś jeszcze wytłumaczyć jak z tymi wzorami Viete'a? bo dalej nie mogę dojść do tego :/