Wykazać nierówność

[Kamil_dobry]

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ a^{4} +b^{4} + c^{4} qslant abc(a+b+c)}\)

[mostostalek]

ja tu widzę równość.. no chyba że mam coś z oczami

[jarekp]

zakładam że chodziło Ci o nierówność
\(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4 qslant abc(a+b+c)}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^2 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ (b-c)^2 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ (c-a)^2 qslant 0}\)
dodając te nierówności stronami otrzymamy \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 qslant ab+bc+ca}\) (*)


\(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4=(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2 qslant (*) qslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 qslant (*) qslant ab bc+bc ca+ca ab=abc(a+b+c)}\)
co kończy dowód

[King James]

\(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)=frac{1}{2}[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2}\)
\(\displaystyle{ +a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2] qslant 0}\)

[luka52]

Takie nierówności idą raz, dwa gdy korzysta się z nierówność o ciągach jednomonotonicznych

[Kamil_dobry]

Rzeczywiście pomyliłem się, dzięki wszystkim za pomoc ;p