Trzy zadanka z konkursu im. Jana Marszła 2006

[walkon23]

Dla pierwszej klasy liceum.

1. Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ 43^{43}-17^{17}}\) dzieli się przez 10 bez reszty.
2. Na płaszczyźnie obrano w dowolny sposób 2006 różnych punktów: \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{2006}}\). Dowieść, że na dowolnym okręgu o promieniu długości 1, leżącym na tej płaszczyźnie, istnieje taki punkt B, że \(\displaystyle{ |A_{1}B|+|A_{2}B|+|A_{3}B|+...+|A_{2006}B|\geqslant 2006}\).
3. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ |x-1|=(m-1)^{2}}\) ma dwa pierwiastki różnych znaków.

Ma ktoś pomysł jak to rozwiązać?

[*Kasia]

Ad 1
Przypatrz się cyfrom jedności danych liczb (43 i 17) w kolejnych potęgach.

[walkon23]

dobra dzieki za to rozwiazalem 1 zadanie czekam na nastepne podpowiedzi ew. roz zadania

[Sir George]

Ad.3 Narysuj w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=|x-1|}\) i \(\displaystyle{ y=c}\) dla różnych stałych \(\displaystyle{ c}\). Wydedukuj, dla jakich wartości stałej \(\displaystyle{ c}\) oba wykresy przecinają się po obu stronach osi rzędnych (czyli OY)

Pozdrawiam