Szacowania z dwójka

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Szacowania z dwójka

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4+xyz=4 }\), to \(\displaystyle{ x \leq 2}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{2-x} \geq \frac{y+z}{2}. }\)
Ostatnio zmieniony 7 sie 2022, o 23:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Szacowania z dwójka

Post autor: Premislav »

Mamy \(\displaystyle{ 4=x^4+y^4+z^4+xyz\ge x^4+2y^2z^2+xyz\\=x^4+2\left(yz+\frac 1 4 x\right)^2-\frac {x^2}{8}\ge x^4-\frac{x^2}{8}.}\)
Stąd szacowanie na iksa (i analogicznie, na każdą inną zmienną) daje się poprawić przez \(\displaystyle{ \frac 1 4\sqrt{1+5\sqrt{41}}<2}\)
(nierówność dwukwadratowa to raczej nie jest wielkie wyzwanie).
Ostatnio zmieniony 8 sie 2022, o 02:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ