Sumy

[mol_ksiazkowy]

Jeśli \(\displaystyle{ a+b+c=0}\), to obliczyć \(\displaystyle{ \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab} }\)

na trzy różne sposoby...

[Janusz Tracz]

1:    

Mamy wyznaczyć równoważnie wartość \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} }\). Jest jednak dość znane, że jeśli \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) to \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=3abc}\). Tu jako dowód tego faktu podam równość \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=1/2(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)}\). Więc odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\).

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ c=-a-b \\
\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab} =\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}= \frac{a^3+b^3+(-a-b)^3}{abc} =\frac{a^3+b^3-a^3-3ab(a+b)-b^3}{abc}=\frac{-3ab(-c)}{abc}=3}\)
2)
\(\displaystyle{ b=-a-c }\)
przekształcenia jak wyżej
3)
\(\displaystyle{ c=-a-b }\)
przekształcenia jak wyżej

PS

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{(a+b+c)^3-3ab(a+b)-3(a+b)^2c-3(ab)c^2}{abc}=\\=\frac{0^3-3ab(-c)-3(a+b)c(a+b+c)}{abc}=\frac{-3ab(-c)}{abc}=3 }\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3}{abc}=\frac{(-c)^3-3ab(-c)+c^3}{abc}=3 }\)

[Janusz Tracz]

2-ish:    

Wstawimy \(\displaystyle{ a=1,\ b=1,\ c=-2}\) aby nabrać podejrzeń i wyznaczyć kandydata na wartość. Kandydat to \(\displaystyle{ 3}\). Liczymi więc

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab}-3= \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc} }\)

Jeśli potraktujemy \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc}\) jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrami \(\displaystyle{ b,c}\) to widać, że ten wielomian znika na \(\displaystyle{ a=-b-c}\). Zatem z Twierdzenie Bézouta wielomian rozkłada się na \(\displaystyle{ (a+b+c) \times (\text{ coś })}\). Zatem \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=0}\) czyli wartość to \(\displaystyle{ 3}\).

[Premislav]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (a+b+c)^3=0\\a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc=0\\a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3abc+3b^2c+3bc^2+3abc+3ca^2+3c^2a+3abc=3abc\\a^3+b^3+c^3=3abc\\\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3}\).