Matematyka.pl

Nie wiem głowię się i jakoś nie mogę tego rozwikłać może dlatego że ze mnie jest niedzielny matematyk
Jak udowodnić że
\(\displaystyle{
\sqrt{a} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} }\)
jeśli
\(\displaystyle{ a = b \cdot c}\)

Proste przekształcenie często stosowane.
Jeśli użyłem złych nazw proszę poprawić.

Po pierwsze to stwierdzeni nie wymaga wprowadzania zmiennej \(\displaystyle{ a}\). Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{bc}= \sqrt{b} \sqrt{c} }\). Poza tym zakładam, że mowa tu o standardowym pierwiastku arytmetycznym (nie algebraicznym) przez co milcząco zakładamy, że \(\displaystyle{ b,c \ge 0}\). Jeśli tak to wystarczy zauważyć z definicji pierwiastka, że \(\displaystyle{ \sqrt{bc}}\) jest taką nieujemną liczbą, że jej kwadrat da \(\displaystyle{ bc}\). Ale \(\displaystyle{ \sqrt{b} \sqrt{c}}\) też jest taką liczbą. Mianowicie \(\displaystyle{ \left( \sqrt{b} \sqrt{c}\right)^2= \sqrt{b} \sqrt{c} \sqrt{b} \sqrt{c} = \sqrt{b}^2 \sqrt{c}^2=bc.}\) Oczywiście w tym dowodzie jest ukryty fakt, że pierwiastek arytmetyczny jest jedyny. To można udowodnić nie wprost: niech \(\displaystyle{ \alpha , \beta \ge 0}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha ^2= \beta ^2}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta }\). Wtedy \(\displaystyle{ \left| \alpha ^2- \beta ^2\right| = ( \alpha + \beta )\left| \alpha - \beta \right|=0 }\) stąd wynika, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta =0}\) ale ponieważ \(\displaystyle{ \alpha , \beta \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta }\) to \(\displaystyle{ \alpha + \beta>0}\). A to sprzeczność.

Dzięki za szybką odpowiedź, będę miał chwilę czasu to się nad tym zastanowię no i słuszne wyprostowanie pozbywające się niewiadomej \(\displaystyle{ a}\)

Tak więc przejrzałem, przeanalizowałem i co następuje,
Podoba mi się pierwszy sposób na dowód:
\(\displaystyle{ \sqrt{bc} = \sqrt{b} \sqrt{c}}\)
wtedy gdy oba wyrażenia podniesione do tej samej potęgi dadzą tą samą wartość lub dokona się takiego przekształcenia, że z jednego wyrażenia wyniknie w drugie, przy czym podniesienie do potęgi może być takim przekształceniem:
\(\displaystyle{ (\sqrt{bc})^{2} = (\sqrt{b} \sqrt{c}) ^{2} }\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{bc})^{2} = bc}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{b} \sqrt{c}\right)^2= \sqrt{b} \sqrt{c} \sqrt{b} \sqrt{c} = \sqrt{b}^2 \sqrt{c}^2=bc}\)
Można też posłużyć się też przekształceniom na potęgach, lub przekształceniom potęg:
\(\displaystyle{ \sqrt{bc} = (bc)^{ \frac{1}{2} } = b ^{ \frac{1}{2} } \cdot c ^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{b} \sqrt{c} \Rightarrow \sqrt{bc} = \sqrt{b} \sqrt{c}}\)
Drugiej części nie za bardzo rozumiem. Rozumiem że jest to dowód na istnienie tylko jednego pierwiastka, w rozwiązaniu wyrażenia, nie wprost, czyli stworzenie takiej jednoznacznej sprzeczności, która udowadniałaby tezę, posiedzę to się nad tym zastanowię, na razie chyba problem został rozwiązany.
Po czasie...
Ja tu widzę sprzeczność już w założeniach, wiec nie wiem, czy jest sens rozpatrywać to wyrażenie, gdyż nie ma takich liczb, żeby spełniały te założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha , \beta \ge 0 \\ \alpha \neq \beta \\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta > 0 \\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \alpha , \beta \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha ^2= \beta ^2}\)

darek334 pisze: ↑1 lip 2022, o 20:29Ja tu widzę sprzeczność już w założeniach, wiec nie wiem, czy jest sens rozpatrywać to wyrażenie, gdyż nie ma takich liczb, żeby spełniały te założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha , \beta \ge 0 \\ \alpha \neq \beta \\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta > 0 \\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \alpha , \beta \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha ^2= \beta ^2}\)

Chyba nie rozumiesz, na czym polega dowód nie wprost.

JK

Może tak być, dlatego napisałem że poczytam, przyjże się temu później...
Dla mnie tutaj jest sprzeczność już w założeniach, dlatego się dziwię temu dowodowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha , \beta \ge 0 \\ \textcolor{red}{\alpha \neq \beta }\\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta > 0 \\ \alpha ^2= \beta ^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta > 0 \\ \textcolor{red}{\alpha = \beta} \end{cases} }\)

Sprzeczność nie jest w założeniach, tylko we wniosku. A na tym właśnie polega dowód nie wprost, że dochodzisz do sprzeczności.

Poza tym rozumowanie Janusza Tracza wyglądało nieco inaczej.

JK

darek334 pisze: ↑1 lip 2022, o 20:29 Podoba mi się pierwszy sposób na dowód:

Póki co jest tylko jeden sposób.

darek334 pisze: ↑1 lip 2022, o 20:29 \(\displaystyle{ \sqrt{bc} = \sqrt{b} \sqrt{c}}\)
wtedy gdy oba wyrażenia podniesione do tej samej potęgi dadzą tą samą wartość lub dokona się takiego przekształcenia, że z jednego wyrażenia wyniknie w drugie, przy czym podniesienie do potęgi może być takim przekształceniem:
\(\displaystyle{ (\sqrt{bc})^{2} = (\sqrt{b} \sqrt{c}) ^{2} }\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{bc})^{2} = bc}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{b} \sqrt{c}\right)^2= \sqrt{b} \sqrt{c} \sqrt{b} \sqrt{c} = \sqrt{b}^2 \sqrt{c}^2=bc}\)

Niby tak ale z tym trzeba uważać. Przykładowo \(\displaystyle{ 2 \neq -2}\) ale \(\displaystyle{ 2^2=(-2)^2}\). Dlatego pełny dowód powinien nawiązywać do tej sytuacji. Nie można tak po prostu podnieść do potęgi i stwierdzić, że wcześniej to co podnosiliśmy było równe.

darek334 pisze: ↑1 lip 2022, o 20:29 Można też posłużyć się też przekształceniom na potęgach, lub przekształceniom potęg:
\(\displaystyle{ \sqrt{bc} = (bc)^{ \frac{1}{2} } = b ^{ \frac{1}{2} } \cdot c ^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{b} \sqrt{c} \Rightarrow \sqrt{bc} = \sqrt{b} \sqrt{c}}\)

Moim zdaniem nie można. Oczywiście przekształcenia na potęgach są ok ale dowodząc, że \(\displaystyle{ \sqrt{bc}= \sqrt{b} \sqrt{c}}\) nie możesz powołać się na równie niejasny póki co fakt, że \(\displaystyle{ \left( bc\right)^{1/2}=b^{1/2}c^{1/2} }\). Dowód nie może polegać na chwilowej zmianie notacji i stwierdzeniu, że wzór zachodzi dla innej notacji.

darek334 pisze: ↑1 lip 2022, o 20:29 Drugiej części nie za bardzo rozumiem. Rozumiem że jest to dowód na istnienie tylko jednego pierwiastka

Druga część to był dowód jednoznaczności pierwiastka. JK już trochę to omówił. Ale piszesz dużo znaczków które moim zdaniem nie mają sensu i mam wrażenie, że nie wiesz co się tam stało. Formalnie chce pokazać, że

• dla każdej nieujemnej liczby \(\displaystyle{ x}\) istnieje jedyna nieujemna liczba \(\displaystyle{ \alpha }\) taka, że \(\displaystyle{ \alpha^2=x}\),

To stwierdzenie sankcjonuje pojęcie pierwiastka arytmetycznego i pozwala napisać


Oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) to skrót myślowy na \(\displaystyle{ \alpha }\) z twierdzenia. Zostało więc pokazać, że faktycznie twierdzenie powyżej jest prawdziwe. W tym celu zakładam, że jest zupełnie odwrotnie. To znaczy, że istnieje jakaś liczba nieujemna \(\displaystyle{ x}\) która ma dwa (lub potencjalnie jeszcze więcej) różne pierwiastki. To znaczy istnieją takie nieujemne liczby \(\displaystyle{ \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \beta }\) które są tymi różnymi pierwiastkami. Wiem jednak, że jakoś tak się dzieje, że \(\displaystyle{ \alpha ^2= \beta ^2}\) (wszak zakładam, że to naprawdę pierwiastki). Zatem


Czyli \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\) (ale tak nie jest) lub \(\displaystyle{ \alpha + \beta =0}\). Jednak \(\displaystyle{ \alpha + \beta =0}\) nie może zajść ponieważ jedna z liczb jest dodatnia. Ostatecznie pokazaliśmy, że taka sytuacja prowadzi do sprzeczności. Ten dowód jest na tyle prosty i elastyczny , że ów sprzeczność można pokazać na wiele różnych sposobów. To znaczy widać, że wszystko się tu sypie. Wydaje mi się to ważniejsze niż suche stwierdzanie, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta \ \& \ \alpha \neq \beta }\) czy coś w tym stylu jak to formalnie wypada zrobić. Ostatecznie jednak to twierdzenie okazało się bzdurą. Prawdą jest więc jego zaprzeczanie. Przypomnijmy, że zaprzeczenie to właśnie to co nas interesowało.