dowód nierówności

[xenoneq_o0]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{a,b,c>0} \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \ge a+b+c }\)

[Janusz Tracz]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}= \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}}\)

oraz, że

\(\displaystyle{ x+y \ge 2 \sqrt{xy}. }\)

Alternatywnie możesz też udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy +yz+ xz}\) (grupując wyrazy lub z pomocą rearrangement inequality). Kładąc \(\displaystyle{ x=ab,\, y=cb, \, z=ca}\) dostaniesz nierówność która po podzieleniu przez \(\displaystyle{ abc}\) będzie tezą.

[xenoneq_o0]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}= \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}}\)

oraz, że

\(\displaystyle{ x+y \ge 2 \sqrt{xy}. }\)

Alternatywnie możesz też udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy +yz+ xz}\) (grupując wyrazy lub z pomocą rearrangement inequality). Kładąc \(\displaystyle{ x=ab,\, y=cb, \, z=ca}\) dostaniesz nierówność która po podzieleniu przez \(\displaystyle{ abc}\) będzie tezą.

Rozumiem skąd wziąłeś pierwszą i drugą zależność, ale nie wiem jak to połączyć, żeby zgadzało się z tezą

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} \ge 2 \sqrt{\frac{ab}{2c} \cdot \frac{bc}{2a}} = b}\)

\(\displaystyle{ \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} \ge 2 \sqrt{\frac{ac}{2b} \cdot \frac{ab}{2c} } =a }\)

\(\displaystyle{ \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b} \ge 2 \sqrt{\frac{bc}{2a} \cdot \frac{ac}{2b}} =c }\)

sumujesz stronami i koniec.

[a4karo]

Połącz w pary `ab/c` i `ac/b` itd

[xenoneq_o0]

\(\displaystyle{ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} \ge 2 \sqrt{\frac{ab}{2c} \cdot \frac{bc}{2a}} = b}\)

\(\displaystyle{ \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} \ge 2 \sqrt{\frac{ac}{2b} \cdot \frac{ab}{2c} } =a }\)

\(\displaystyle{ \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b} \ge 2 \sqrt{\frac{bc}{2a} \cdot \frac{ac}{2b}} =c }\)

sumujesz stronami i koniec.

dziękuje bardzo