dowód nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
dowód nierówności
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{a,b,c>0} \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \ge a+b+c }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: dowód nierówności
Zauważ, że
Alternatywnie możesz też udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy +yz+ xz}\) (grupując wyrazy lub z pomocą rearrangement inequality). Kładąc \(\displaystyle{ x=ab,\, y=cb, \, z=ca}\) dostaniesz nierówność która po podzieleniu przez \(\displaystyle{ abc}\) będzie tezą.
\(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}= \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}}\)
oraz, że \(\displaystyle{ x+y \ge 2 \sqrt{xy}. }\)
Alternatywnie możesz też udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy +yz+ xz}\) (grupując wyrazy lub z pomocą rearrangement inequality). Kładąc \(\displaystyle{ x=ab,\, y=cb, \, z=ca}\) dostaniesz nierówność która po podzieleniu przez \(\displaystyle{ abc}\) będzie tezą.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Re: dowód nierówności
Rozumiem skąd wziąłeś pierwszą i drugą zależność, ale nie wiem jak to połączyć, żeby zgadzało się z teząJanusz Tracz pisze: ↑21 maja 2022, o 15:49 Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}= \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b}}\)oraz, że
\(\displaystyle{ x+y \ge 2 \sqrt{xy}. }\)
Alternatywnie możesz też udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy +yz+ xz}\) (grupując wyrazy lub z pomocą rearrangement inequality). Kładąc \(\displaystyle{ x=ab,\, y=cb, \, z=ca}\) dostaniesz nierówność która po podzieleniu przez \(\displaystyle{ abc}\) będzie tezą.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: dowód nierówności
\(\displaystyle{ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} \ge 2 \sqrt{\frac{ab}{2c} \cdot \frac{bc}{2a}} = b}\)
\(\displaystyle{ \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} \ge 2 \sqrt{\frac{ac}{2b} \cdot \frac{ab}{2c} } =a }\)
\(\displaystyle{ \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b} \ge 2 \sqrt{\frac{bc}{2a} \cdot \frac{ac}{2b}} =c }\)
sumujesz stronami i koniec.-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Re: dowód nierówności
dziękuje bardzoJanusz Tracz pisze: ↑21 maja 2022, o 17:07\(\displaystyle{ \frac{ab}{2c} + \frac{bc}{2a} \ge 2 \sqrt{\frac{ab}{2c} \cdot \frac{bc}{2a}} = b}\)\(\displaystyle{ \frac{ac}{2b}+ \frac{ab}{2c} \ge 2 \sqrt{\frac{ac}{2b} \cdot \frac{ab}{2c} } =a }\)\(\displaystyle{ \frac{bc}{2a} + \frac{ac}{2b} \ge 2 \sqrt{\frac{bc}{2a} \cdot \frac{ac}{2b}} =c }\)sumujesz stronami i koniec.