Wykaż nierówność

[Pan_The_Panda]

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) oraz \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\) to nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{4a + 1}+\sqrt{4b +1}+ \sqrt{4c+1}\le 5}\) jest prawdziwa
Próbowałam ze średnich \(\displaystyle{ K_3 \ge A_3}\) ale zostaje na tym że jest mniejsze od \(\displaystyle{ \sqrt{21}.}\)

[Janusz Tracz]

Próbowałam z średnich K3 \(\displaystyle{ \ge}\) A3 ale zostaje na tym że jest mniejsze od \(\displaystyle{ \sqrt{21}}\)

To może dobrze? \(\displaystyle{ \sqrt{21}< \sqrt{25}=5 }\).

Z \(\displaystyle{ \mathrm{CS}}\) można tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{4a +1}+\sqrt{4b +1}+\sqrt{4c +1} \le \sqrt{3} \cdot \sqrt{4a+1+4b+1+4c+1} = \sqrt{21}<5. }\)

PS To, że \(\displaystyle{ \mathrm{KM}-\mathrm{AM}}\) da podobny rezultat raczej nie dziwi. Bo to praktycznie jedno i to samo.

[Premislav]

Ponieważ boli mnie głowa i nudzę się, czekając na ostygnięcie herbaty, więc pozwolę sobie podrzucić rozwiązanie typu frustrujące:
nawet ślepy koń dojrzy (no offence, to nawiązanie do wypowiedzi arka1357), że w rzeczywistych zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (6x-2)^2\ge 0}\). Gdy \(\displaystyle{ x\ge -\frac 1 4}\), to równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ 36x^2-24x+4\ge 0\\36x^2+60x+25\ge 84x+21\\6x+5\ge \sqrt{84x+21}\\\frac{6}{\sqrt{21}}x+\frac{5}{\sqrt{21}}\ge \sqrt{4x+1} \ (*).}\)
Z uwagi na dziedzinę nawet ślepy koń zauważy także, że interesują nas \(\displaystyle{ a,b,c\ge -\frac 1 4}\), więc piszemy sobie nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) kolejno dla \(\displaystyle{ x=a, \ x=b, \ x=c}\), dodajemy stronami otrzymane nierówności i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{6}{\sqrt{21}}(a+b+c)+\frac{15}{\sqrt{21}}\ge \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}}\).
A że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{21}<5}\), to sprawa załatwiona.

[a4karo]

Próbowałam z średnich K3 \(\displaystyle{ \ge}\) A3 ale zostaje na tym że jest mniejsze od \(\displaystyle{ \sqrt{21}}\)

To może dobrze? \(\displaystyle{ \sqrt{21}< \sqrt{25}=5 }\).

Z \(\displaystyle{ \mathrm{CS}}\) można tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{4a +1}+\sqrt{4b +1}+\sqrt{4c +1} \le \sqrt{3} \cdot \sqrt{4a+1+4b+1+4c+1} = \sqrt{21}<5. }\)

PS To, że \(\displaystyle{ \mathrm{KM}-\mathrm{AM}}\) da podobny rezultat raczej nie dziwi. Bo to praktycznie jedno i to samo.

To nawet nie CS, tylko po prostu wklęsłość pierwiastka. I widać, że założenie o dodatniości `a,b` jest zbędne.

[timon92]

To nawet nie CS, tylko po prostu wklęsłość pierwiastka.

nierówność Schwarza to jest dokładnie wklęsłość pierwiastka kwadratowego

[a4karo]

To nawet nie CS, tylko po prostu wklęsłość pierwiastka.

nierówność Schwarza to jest dokładnie wklęsłość pierwiastka kwadratowego

To prawda. Dla mnie w tym przypadku warunek wypukłości wygląda bardziej naturalnie niż CS. Kwestia smaku