nierówność z 2 zmiennymi
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
nierówność z 2 zmiennymi
Niech \(\displaystyle{ a,b>0}\) , wykaż że \(\displaystyle{ \dfrac{a^2-2ab+1}{a(2ab+1)}+\dfrac{1+3b^2}{3b} \geq \dfrac{4}{3}.}\)
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2022, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: nierówność z 2 zmiennymi
Po wymnożeniu stronami przez mianowniki mamy równoważną wyjściowej nierówność:
\(\displaystyle{ 5a^2b-3ab^2+a+3b+6a^2b^3\ge 8a^2b^2+4ab}\).
Jednakże na mocy AM-GM otrzymujemy co następuje:
\(\displaystyle{ 4a^2b^3+4a^2b\ge 8a^2b^2\\2a^2b^3+2b\ge 4ab^2\\a^2b+ab^2+a+b\ge 4ab.}\)
Dodajemy stronami te trzy nierówności, co kończy dowód.
Dodano po 2 minutach 30 sekundach:
Natomiast jeśli ktoś nie chce wymnażać, to może najpierw przy ustalonym \(\displaystyle{ b>0}\) minimalizować \(\displaystyle{ f(a)=\frac{a^2-2ab+1}{a(2ab+1)}+\frac{1+3b^2}{3b}}\) (wzór na pochodną ilorazu załatwia sprawę), a potem minimalizować otrzymaną funkcję jednej zmiennej.
\(\displaystyle{ 5a^2b-3ab^2+a+3b+6a^2b^3\ge 8a^2b^2+4ab}\).
Jednakże na mocy AM-GM otrzymujemy co następuje:
\(\displaystyle{ 4a^2b^3+4a^2b\ge 8a^2b^2\\2a^2b^3+2b\ge 4ab^2\\a^2b+ab^2+a+b\ge 4ab.}\)
Dodajemy stronami te trzy nierówności, co kończy dowód.
Dodano po 2 minutach 30 sekundach:
Natomiast jeśli ktoś nie chce wymnażać, to może najpierw przy ustalonym \(\displaystyle{ b>0}\) minimalizować \(\displaystyle{ f(a)=\frac{a^2-2ab+1}{a(2ab+1)}+\frac{1+3b^2}{3b}}\) (wzór na pochodną ilorazu załatwia sprawę), a potem minimalizować otrzymaną funkcję jednej zmiennej.