Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2= 3xyz \\ y^2+z^2= 4xyz\\ x^2+z^2= 5xyz \end{cases}}\)
Trzy zmienne
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11375
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Trzy zmienne
Dodając stronami dwa pierwsze równania układu i odejmując stronami od otrzymanego równania trzecie równanie wyjściowego układu, dostajemy
\(\displaystyle{ 2y^2=2xyz}\). Jedną z możliwości jest \(\displaystyle{ y=0}\), w tym przypadku tym bardziej \(\displaystyle{ xyz=0}\), a że suma kwadratów jest nieujemna, więc jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\). Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ y\neq 0}\). Dostajemy wówczas
\(\displaystyle{ y=xz}\) i układ sprowadza się do
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2=3xyz\\y^2+z^2=4xyz\\ y=xz\end{cases}}\), a równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(xz)^2=3(xz)^2 \\(xz)^2+z^2=4(xz)^2\\y=xz\end{cases} }\)
Tu znów przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) daje \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\), ale miało być \(\displaystyle{ y\neq 0}\), sprzeczność. Zakładając, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\), dostajemy zaś
\(\displaystyle{ x^2=2x^2z^2}\), tj. \(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{2}}\vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\) i analogicznie rozpatrując drugie równanie nowego układu, otrzymujemy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\vee x=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\).
Rozwiązania są więc ostatecznie postaci \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left(*\frac{1}{\sqrt{3}}, *\frac{1}{\sqrt{6}}, *\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\), gdzie gwiazdka może być plusem lub minusem i parzyście wiele "gwiazdek" (zero lub dwie) ma ujemny znak.
\(\displaystyle{ 2y^2=2xyz}\). Jedną z możliwości jest \(\displaystyle{ y=0}\), w tym przypadku tym bardziej \(\displaystyle{ xyz=0}\), a że suma kwadratów jest nieujemna, więc jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\). Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ y\neq 0}\). Dostajemy wówczas
\(\displaystyle{ y=xz}\) i układ sprowadza się do
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2=3xyz\\y^2+z^2=4xyz\\ y=xz\end{cases}}\), a równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(xz)^2=3(xz)^2 \\(xz)^2+z^2=4(xz)^2\\y=xz\end{cases} }\)
Tu znów przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) daje \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\), ale miało być \(\displaystyle{ y\neq 0}\), sprzeczność. Zakładając, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\), dostajemy zaś
\(\displaystyle{ x^2=2x^2z^2}\), tj. \(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{2}}\vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\) i analogicznie rozpatrując drugie równanie nowego układu, otrzymujemy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\vee x=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\).
Rozwiązania są więc ostatecznie postaci \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left(*\frac{1}{\sqrt{3}}, *\frac{1}{\sqrt{6}}, *\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\), gdzie gwiazdka może być plusem lub minusem i parzyście wiele "gwiazdek" (zero lub dwie) ma ujemny znak.