Wisienka dla leniwych

[Elayne]

Udowodnić dla nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c}\).

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left(\frac{a + b}{2} \right) \left(\frac{b + c}{2} \right) \left(\frac{c + a}{2} \right)} \ge \frac{ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} }{3}}\)

[Premislav]

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{2}{3}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}\).
Teraz zapisujemy LHS w innej postaci i korzystamy z uogólnionej nierówności Höldera:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left(\frac{a+b}{3}+\frac{2a}{3}+\frac{2b}{3}\right)\left( \frac{2b}{3}+\frac{2c}{3}+\frac{b+c}{3}\right)\left(\frac{2a}{3}+\frac{c+a}{3}+\frac{2c}{3}\right)}\\ \ge \sqrt[3]{\frac{4ab(a+b)}{27}}+\sqrt[3]{\frac{4ca(c+a)}{27}}+\sqrt[3]{\frac{4bc(b+c)}{27}}.}\)
Następnie pod pierwiastkami sześciennymi (wszak \(\displaystyle{ f(t)=t^{\frac{1}{3}}}\) jest rosnąca w nieujemnych) korzystamy z AM-GM: \(\displaystyle{ a+b\ge 2\sqrt{ab}, \ c+a\ge 2\sqrt{ca}, \ b+c\ge 2\sqrt{bc}}\), co daje:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{4ab(a+b)}{27}}+\sqrt[3]{\frac{4ca(c+a)}{27}}+\sqrt[3]{\frac{4bc(b+c)}{27}}\ge \frac{2}{3}\sqrt{ab}+\frac{2}{3}\sqrt{ca}+\frac{2}{3}\sqrt{bc}}\),
co kończy dowód.