Trzy plus jeden

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \\ x+y+z =\sqrt{2} - 1 \\ xyz = 1 - \sqrt{2} \\ x^{yz} = 1+ \sqrt{2} \end{cases}}\)

[Premislav]

Podstawiamy do ostatniego równania \(\displaystyle{ yz=\frac{1-\sqrt{2}}{x}}\) i mamy
\(\displaystyle{ x^{\frac{1-\sqrt{2}}{x}}=1+\sqrt{2}}\), tudzież \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(1+\sqrt{2}\right)^{1+\sqrt{2}}}\).
Jednakże funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^t}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ t>\frac{1}{e}}\) i malejąca dla \(\displaystyle{ t\in\left(0, \frac{1}{e}\right)}\), zaś w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{e}\right]}\) osiąga wartości mniejsze niż \(\displaystyle{ 1=\lim_{t\to 0^+}t^t}\), a \(\displaystyle{ 1<\left(1+\sqrt{2}\right)^{1+\sqrt{2}}}\).
Wobec tego równanie w dodatnich \(\displaystyle{ t^t= \left(1+\sqrt{2}\right)^{1+\sqrt{2}}}\) ma jedyne rozwiązanie i jest ono większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\). Łatwo widać, że tym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 1+\sqrt{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=1+\sqrt{2}}\), przeto \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}-1}\).
Dzięki temu wiemy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} yz=-1\\y+z=0\end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ (y,z)=(1,-1) \vee (y,z)=(-1,1)}\).
Zatem rozwiązaniami są trójki \(\displaystyle{ \left(\sqrt{2}-1, -1, 1\right), \ \left(\sqrt{2}-1, 1, -1\right)}\).

[arek1357]

Podoba mi się to zadanie i rozwiązanie powinno się to zaprezentować na lekcji matematyki w szkole...

Wykres powinien być poparty rysunkiem aby było bardziej dydaktycznie...