Oszacownie dolne pierwiastka z silni

[bartekw2213]

W książce natknąłem się na dolne oszacowanie funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{n!} }\) wykonane w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt{n!} = \sqrt{1 \cdot \ldots\cdot n} \ge \sqrt{\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \cdot \ldots \cdot n} \ge\left( \frac{n}{2}\right) ^{\frac{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}{2}} }\)

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć skąd wzięły się obie nierówności? Również nie rozumiem zapisu prawej strony pierwszej nierówności czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \cdot \ldots \cdot n}}\) to jest jak wyglądałby dalsze rozwinięcia tego 'szeregu' (o ile tak to mogę nazwać) począwszy od pierwszego wyrazu?

[a4karo]

Zamiast pełnego iloczynu od jedynki do `n` bierzesz tylko połowę: czynniki od `n/2` do `n`

[Math_Logic]

Zamiast pełnego iloczynu od jedynki do `n` bierzesz tylko połowę: czynniki od `n/2` do `n`

To pierwsza nierówność, a druga wzięła się stąd, że kolejne wyrazy \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2}\right) + \left( \frac{n}{2}+1\right) + \left( \frac{n}{2}+2\right) + \ldots + \left( n\right) }\) zamniejszasz do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) co daje Ci iloczyn tej samej liczby, co da się zapisać za pomocą potęgi.