Skąd się bierze ta prawidłowość?

[atanazygwiezducha]

Skąd się bierze ta prawidłowość?
\(\displaystyle{
5^2=25 \qquad \frac{1}{2^2} =0.25\\
5^3=125 \qquad \frac{1}{2^3} =0.125\\
5^4=625 \qquad \frac{1}{2^4} =0.0625\\
5^{-6}=0.000064 \qquad \frac{1}{2^{-6}} =64\\
}\)
I tak dalej.
Da się zauważyć że jeśli 5 podniesiemy do jakiejś dowolnej liczby całkowitej k,
to pojawia się ona w ilorazie \(\displaystyle{ 1/2^k }\), z różnie wystepującymi zerami.
Dlaczego tak jest?

[Dasio11]

Dlatego, że \(\displaystyle{ 5^k}\) różni się od \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\) o czynnik będący całkowitą potęgą dziesiątki, a mnożenie przez takie liczby to tylko przesuwanie przecinka.

[Niepokonana]

Nie jestem przekonana co do użycia słowa "różni się", ale tak, Dasio ma rację.

[Math_Logic]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right)^k \cdot 10^k = 5^k}\)

Czyli \(\displaystyle{ 5^k}\) jest \(\displaystyle{ 10^k}\) razy większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k},}\) a w systemie dziesiątkowym to jest kwestia "przesunięcia" przecinka o \(\displaystyle{ k}\) miejsc.
Można z tego wyciągnąć wniosek, ale prawidłowość zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.

Warto zauważyć również, że jeżeli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze, to ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) ma skończone rozwinięcie dziesiętne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ b = 2^n \cdot 5^m}\), dla \(\displaystyle{ n,m \in \ZZ.}\)