Dowód nierówności z pierwiastkami sześciennymi

[poetaopole]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3+ \sqrt[3]{3} } +\sqrt[3]{3- \sqrt[3]{3} }<2 \sqrt[3]{3} }\).
Mogę prosić o próbę dowodu bez związku między średnimi i bez nierówności Jensena?

[Premislav]

Udowodnimy ogólniejszą nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\le 2\sqrt[3]{\frac{a+b}{2}}, \ a\ge 0, \ b\ge 0}\).
Równoważnie podnosimy stronami do trzeciej potęgi, co daje
\(\displaystyle{ a+b+3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}+3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}\le 4(a+b)\\\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\le a+b}\)
Teraz jeszcze wzór na sumę sześcianów:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\le \left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab}+b^{\frac{2}{3}}\right)\\0\le \left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2}\)
a to już oczywiste.

Jak ktoś jest purystą, to może to sobie przepisać od końca, aczkolwiek przekształcenia są równoważne, więc user Inkiwzytor się nie znał.

[poetaopole]

inaczej?

[Premislav]

Skorzystamy z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+x)^n\ge 1+nx}\).
Zachodzi ona dla \(\displaystyle{ x>-1, \ n\ge 1}\), zaś jej dowód dla wykładników naturalnych (który nam wystarcza) to zwykła indukcja matematyczna, którą miałem na bank w szkole na rozszerzeniu.
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) równoważnie otrzymujemy
\(\displaystyle{ 1+x\ge \sqrt[n]{1+nx}}\).
Podstawiamy \(\displaystyle{ n=3}\) i jest
\(\displaystyle{ 1+x\ge \sqrt[3]{1+3x}}\).
Mnożąc to ostatnie stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}}\), mamy równoważną nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+x\sqrt[3]{3}\ge \sqrt[3]{3+9x}}\).
Teraz podstawiamy kolejno \(\displaystyle{ x:=\frac{\sqrt[3]{3}}{9}, \ x:=-\frac{\sqrt[3]{3}}{9}}\) i dostajemy nierówności
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+\frac{\sqrt[3]{9}}{9}\ge \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}\\\sqrt[3]{3}-\frac{\sqrt[3]{9}}{9}\ge \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}}\).
Dodajemy te dwie ostatnie nierówności stronami i otrzymujemy tezę zadania.

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(a)=\sqrt[3]{3+a}+\sqrt[3]{3-a}\\

f'(a)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(3+a)^2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-a)^2}}<0}\) więc \(\displaystyle{ f(\sqrt[3]3)<f(0)}\)