Dowód nierówności

[poetaopole]

Udowodnij \(\displaystyle{ x^{8} - x^{5}+ x^{2}-x+1>0 }\). Jakieś pomysły?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ x^8 - x^5 + x^2 - x + 1 = x^8 - x^5 + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{4} x^2 - x + 1 = x^2 \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} x^2 + \left( \frac{1}{2} x - 1 \right)^2 > 0}\).

Nierówność jest ostra, bo wszystkie trzy składniki nie mogą się zerować jednocześnie.

[a4karo]

Rozpatrz przypadki: `x<0`, `0<x<1`, `x>1`

[poetaopole]

Świetnie Dasio! Mam jeszcze podobną; rozwiązałem ją w stylu A4karo, ale może uda Ci się w "swoim stylu"?

Dodano po 2 minutach 36 sekundach:
\(\displaystyle{ x^{12} + x^{4}+1> x^{9}+x}\)

[Premislav]

Z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{12}+1}{4}\ge |x|^9\ge x^9\\\frac{x^4+3}{4}\ge |x|\ge x}\)
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^{12}+\frac{3}{4}x^4\ge 0}\), dodajemy stronami te trzy nierówności i już. Żeby zaszła równość, musiałoby być jednocześnie \(\displaystyle{ |x|=1, \ x=0}\), co jest absurdem.

[poetaopole]

Nierówności między średnimi tak naprawdę dopiero w tym roku szkolnym wprowadzono do programu (chyba że PAZDRO samo sobie wprowadziło) Czekam na błysk intelektu od Dasio...

[Premislav]

To jest równoważne czemuś takiemu:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(x^6-x^3\right)^2+\frac{1}{8}\left(2x^6-1\right)^2+\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{8}>0}\).

Tak wogle da się to rozłożyć na sumę dwóch kwadratów wielomianów, por.

Kod: Zaznacz cały

https://wm.staszic.waw.pl/materialy/pd-8d.pdf

Zadanie 6. (najłatwiejsze z tej pięciogodzinówki).

[a4karo]

Więcej czasu zajmie sprawdzenie tej tożsamości niż elementarny dowód na palcach

[Premislav]

Nie twierdzę, że nie, ale autor wątku zasugerował, że taki dowód już ma i nie to go interesuje (no albo źle zrozumiałem).

[poetaopole]

Premislav nigdy jeszcze mnie nie zawiódł Wymnożyłbym tylko jego nierówność równoważną przez 8, bo aż oczy bolą od ułamków