Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 07:12
Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
Matematyka.pl
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Strona 1 z 1
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 09:31
WSK. Odejmij `ab` od obu stron.
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 12:07
świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy? Co Ty na to?
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 12:09
Nie, teza jest prawdziwa.poetaopole pisze: ↑14 sty 2022, o 12:07 świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy?
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
}\)
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 12:37
Dla `a<0` lewa strona jest dodatnia (bo wyróżnik trójmianu jest ujemny), a prawa ujemna.
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 14 sty 2022, o 12:57
Jak zawsze KERAJS wyjaśnił wszelkie wątpliwości. Dziękuję (moja uwaga była skierowania do a4karo po wskazówce, aby odjąć \(\displaystyle{ ab}\) od obu stron tezy)
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 15 sty 2022, o 06:44
Albo tak:
Wyróżnikiem trójmianu `w(a)=a^2-a(b+1)+b^2` jest `(b+1)^2-4b^2=-(b-1)(3b+1)<0` dla `b>1`.
Wyróżnikiem trójmianu `w(a)=a^2-a(b+1)+b^2` jest `(b+1)^2-4b^2=-(b-1)(3b+1)<0` dla `b>1`.
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 15 sty 2022, o 11:29
Zauważmy, żepoetaopole pisze: ↑14 sty 2022, o 07:12 Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\), więc \(\displaystyle{ ab>a}\)
Do tego \(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. \ge ab >a }\)
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 15 sty 2022, o 12:05
Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 16 sty 2022, o 00:18
NapisPremislav pisze: ↑15 sty 2022, o 12:05 Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
rozumiem tak: Dla dowolnego \(\displaystyle{ a>1}\) i dowolnego \(\displaystyle{ b>1.}\)dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\)
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 16 sty 2022, o 00:24
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
: 16 sty 2022, o 09:23
W pierwszym czytaniu też tak zinterpretowałem treść zadania