Dwumian newtona - problem z przyjęciem n

[smp]

Hej

Mam problem otóż nie wiem w końcu jak to jest

Mamy na przykład dwumian
\(\displaystyle{
{2n \choose 7} > {2n \choose 5} }\)

i robimy założenia, że n należy do liczb naturalnych i \(\displaystyle{ n \ge 3 \frac{1}{2} }\)

obliczymy tą nierówność i wchodzi, że n należy do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty,- \frac{1}{2} )}\) lub \(\displaystyle{ (6, \infty)}\) czyli według sposobu który nas wykładowca uczył odpowiedzią jest \(\displaystyle{ n=\left\{ 7, 8, 9, 10...\right\} }\) czyli n należy do liczb naturalnych i \(\displaystyle{ n \ge 7}\) i to jest odpowiedź naszego wykładowcy

JEDNAKŻE

Inni wykładowcy uczą tak, że n to defakto może przyjmować połówki i wtedy 2n należy do \(\displaystyle{ (-\infty,-1)}\) lub \(\displaystyle{ (12, \infty)}\) i wtedy
\(\displaystyle{ n=\left\{ 6 \frac{1}{2}, 7, 7 \frac{1}{2}... \right\}}\)

I moje pytanie brzmi: To jak to w końcu jest? Można przyjąć obie wersje czy ta druga wersja jest poprawna?

Bo wtedy np. dwumian \(\displaystyle{ {6 \choose 2n} \le 7}\) według pierwszego sposobu przyjmuje dwie wartości \(\displaystyle{ n=0}\) i \(\displaystyle{ n=3}\) a według drugiego sposobu przyjmuje jeszcze wartość \(\displaystyle{ n= \frac{1}{2} }\)

[Gouranga]

jak masz tam 2n to zrób podstawienie 2n = t, rozwiąż w t i na końcu podstaw z powrotem, wtedy nie masz wątpliwości do połówek

[smp]

jak masz tam 2n to zrób podstawienie 2n = t, rozwiąż w t i na końcu podstaw z powrotem, wtedy nie masz wątpliwości do połówek

Tylko z drugiej strony teraz jest inny problem bo np. dla \(\displaystyle{ t= 1}\) zachodzi nierówność, więc \(\displaystyle{ 2n=t \Rightarrow 2n=1 \Rightarrow n= \frac{1}{2} }\), ale np. w definicji w wzorach matematycznych CKE jest napisane, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ n \ge 0}\) (więc należy do liczb naturalnych łącznie z \(\displaystyle{ 0}\)) a tutaj nam wyszło, że \(\displaystyle{ n= \frac{1}{2} }\) więc nie jest liczbą całkowitą

Trudne tutaj zagadnienie, a sam nie wiem który tok rozumowania jest poprawny

[Jan Kraszewski]

Trudne tutaj zagadnienie, a sam nie wiem który tok rozumowania jest poprawny

W tym nie ma nic trudnego. To jest wyłącznie kwestia sformułowania zadania (czy też niewystarczająco precyzyjnego sformułowania).

Jeżeli zadanie brzmi

"Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ {2n \choose 7} > {2n \choose 5} }\)",

to poprawne jest oczywiście wyłącznie pierwsze rozwiązanie.

Skoro jesteś pytany o liczby naturalne, to nie możesz rozważać "połówek", bo to nie są liczby naturalne.

JK

[smp]

Trudne tutaj zagadnienie, a sam nie wiem który tok rozumowania jest poprawny

W tym nie ma nic trudnego. To jest wyłącznie kwestia sformułowania zadania (czy też niewystarczająco precyzyjnego sformułowania).

Jeżeli zadanie brzmi

"Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ {2n \choose 7} > {2n \choose 5} }\)",

to poprawne jest oczywiście wyłącznie pierwsze rozwiązanie.

Skoro jesteś pytany o liczby naturalne, to nie możesz rozważać "połówek", bo to nie są liczby naturalne.

JK

To też trudne do określenia bo zdanie brzmi: "Rozwiąż nierówność" - i to tyle. Nic nie ma o żadnych założeniach w treści zadania. Więc wtedy sam decyduje jak robię?

Ta definicja z CKE to tylko przykład definicji symbolu Newtona bo po prostu szukałem w Internecie jakiejś definicji

[Jan Kraszewski]

To też trudne do określenia bo zdanie brzmi: "Rozwiąż nierówność" - i to tyle.

No i to jest właśnie nieprecyzyjność, o której mówię. Jeżeli zakładamy, że odpowiedzi mają być naturalne, to poprawny jest pierwszy sposób. Jeżeli zrezygnujemy z tego założenia, to rozwiązanie drugie też ma sens.

W zadaniu powinno być określone, w jakiem zbiorze mamy szukać rozwiązań.

JK