Udowodnij równość, porównaj liczby, wyznacz liczby caĹ

[Kozi]

1 Udowodnij że:

a) \(\displaystyle{ \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{2}(1+\sqrt{5})}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4}\)

c) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}}\)

2. Porównaj liczby

\(\displaystyle{ 2^{350}}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{174}}\)

3.Udowodnij, że

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in N} (\frac{n^6}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^1}{3}) x\in N}\)

4. Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), takie by liczba \(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1}}\) była liczbą całkowitą.

5. Znajdź taką liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), aby liczby \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n-110}\) były kwadratami liczb naturalnych.

I OSTATNIE

6. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba \(\displaystyle{ \frac{100^{n+1}+4\cdot10^{n+1}+4}{9}}\) jest kwadratem liczby naturalnej



PROSZE o jak najszybsze rozwiązanie tych zadań

[jarekp]

2.
\(\displaystyle{ 2^{350}=4^{175}>3^{174}}\)


3. patrz moje rozwiązanie
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=44031


5. Znajdź taką liczbę naturalną n, aby liczby \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n-110}\) były kwadratami liczb naturalnych.

niech \(\displaystyle{ n+1=a^2}\) i \(\displaystyle{ n-110=b^2}\)
wtedy \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)=111=3*37 a-b=3}\) i \(\displaystyle{ a+b=37}\)
lub \(\displaystyle{ a-b=1}\) i \(\displaystyle{ a+b=111}\)
czyli {a=15 i b=12} lub {a=56 i b=55}
pierwsza para liczb (15,12) nie spełnia założeń

więc a=56 i b=55 i wtedy \(\displaystyle{ n=3135}\)


6.
\(\displaystyle{ \frac{100^{n+1}+4\cdot10^{n+1}+4}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^2}\)

i liczba \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+2}{3}}\) jest całkowita gdyż suma jej cyfr wynosi trzy czyli liczba ta jest podzielna przez trzy

[Justka]

Ad.1
b)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^3}+\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^3}=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4}\)

[Kozi]

fajnie szybko pracujecie ^^ jeszcze 1 a,c oraz całe 4

[jarekp]

1c) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}}\)


4. \(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1}=n^2+\frac{2}{n-1}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{n-1}}\) musi być całkowite skąd otrzymujemy, że n={-1,0,2,3}

[Kozi]

JESZCZE 1a !!

[ Dodano: 20 Października 2007, 17:25 ]
hmm \(\displaystyle{ \frac{n^3-n^2}{n-1}=n^2}\) ?? czemu ??

[*Kasia]

Kozi, wyłącz \(\displaystyle{ n^2}\) przed nawias w liczniku.

[Kozi]

-.- jaki ze mnie głupek no tak ehh kasia zrobisz jeszcze 1a dla mnie ??