Układ z pierwiastkami

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \sqrt{x+y} + \sqrt{z} = \sqrt{x+z} + \sqrt{y} = \sqrt{y+z} + \sqrt{x} }\)

[kerajs]

Po podniesieniu stronami do kwadratu, i odjęciu wspólnego składnika \(\displaystyle{ x+y+z}\) mam
\(\displaystyle{ 2\sqrt{(x+y)z}= 2\sqrt{(x+z)y} = 2\sqrt{(y+z)x} }\)
więc:
\(\displaystyle{ (x+y)z=(x+z)y = (y+z)x }\)
co daje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xz=xy \\ yz= xz \end{cases} }\) dla nieujemnych \(\displaystyle{ x,y,z.}\)

a)
\(\displaystyle{ x=0 \ \ \Rightarrow \ \ yz=0 \ \ \Rightarrow \ \ (y=z=0) \vee (y=0 \wedge z>0) \vee (y>0 \wedge x=0)}\)
b)
\(\displaystyle{ x>0 \ \ \Rightarrow \ \ (y=z) \wedge (y^2=yx) \ \ \Rightarrow \ \ (y=z=0) \vee (x=y= z)}\)

Równanie spełniają trójki \(\displaystyle{ (0,0,0),(k,0,0),(0,k,0),(0,0,k),(k,k,k)}\) dla \(\displaystyle{ k \in \RR_+.}\)