Matematyka.pl

treść zadania:
Udowodnij, ze dla dowolnego trójkąta o długościach boków \(\displaystyle{ a, b, c}\) mamy \(\displaystyle{ 2\sqrt{a^2+b^2+c^2}<\sqrt{3}(a+b+c)}\)


co przekształceniu
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} < \frac{a+b+c}{2} }\) i mam zależność między średnią kwadratową a arytmetyczną.


Tylko, że udowodniłem coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3} }\)

leszekgrucel pisze: ↑13 paź 2021, o 18:09 \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} < \frac{a+b+c}{2} }\) i mam zależność między średnią kwadratową a arytmetyczną.

Nie mamy tu średniej arytmetycznej więc nie bardzo. Za to podstawienia Raviego powinno ładnie zadziałać (gdzieś trzeba skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) to boki trójkąta).

strona 6 Twierdzenie 3 (Nierówność między średnimi: kwadratową, arytmetyczną i geometryczną), wskazana nierówność

leszekgrucel pisze: ↑13 paź 2021, o 19:06 strona 6 Twierdzenie 3 (Nierówność między średnimi: kwadratową, arytmetyczną i geometryczną), wskazana nierówność

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~amecel/popularne/geometria-wyk1.pdf

Literówka. Zobacz na Twierdzenie 3 w ogólnej postaci i przyjmij \(\displaystyle{ n=3}\). Swoją drogą zobacz też Twierdzenie 2 czyli podstawienie Raviego.

Dziękuję zadanie rozwiązane, podstawienie zadziałało.