Działania na pierwiastkach

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Bierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 29 kwie 2017, o 14:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Działania na pierwiastkach

Post autor: Bierp »

Proszę wskazać błąd (bądź błędy) w poniższym rozwiązaniu i przedstawić właściwe.
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{ \sqrt{3}+ \sqrt{2} }}{ \sqrt{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }}+\frac{ \sqrt{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }}{ \sqrt{ \sqrt{3}+ \sqrt{2} }}= \frac{ 3^{ \frac{1}{4}}+ 2^{ \frac{1}{4} } }{ 3^{ \frac{1}{4} }- 2^{ \frac{1}{4} } } + \frac{ 3^{ \frac{1}{4}}- 2^{ \frac{1}{4} } }{ 3^{ \frac{1}{4} }+ 2^{ \frac{1}{4} } }= \frac{ 9^{ \frac{1}{4} }- 6^{ \frac{1}{4} }+ 6^{ \frac{1}{4} }- 4^{ \frac{1}{4} } }{ 9^{ \frac{1}{4} }+ 6^{ \frac{1}{4} }- 6^{ \frac{1}{4} }- 4^{ \frac{1}{4} } }= \frac{ 5^{ \frac{1}{4} } }{ 5^{ \frac{1}{4} } }=1 }\)

Prawidłowy wynik tego zadania to: \(\displaystyle{ \sqrt{5+2 \sqrt{6} }+ \sqrt{5-2 \sqrt{6} } }\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: piasek101 »

Bierp pisze: 4 paź 2021, o 10:58 Proszę wskazać błąd (bądź błędy) w poniższym rozwiązaniu i przedstawić właściwe.
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{ \sqrt{3}+ \sqrt{2} }}{ \sqrt{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }}+...= \frac{ 3^{ \frac{1}{4}}+ 2^{ \frac{1}{4} } }{ 3^{ \frac{1}{4} }- 2^{ \frac{1}{4} } } ... }\)
Na początek to (dalej nie szukałem).
Tak nie możesz robić.

Co prawda \(\displaystyle{ \sqrt{\sqrt{3}}=3^{0,25}}\) ale już \(\displaystyle{ \sqrt{\sqrt{3}+2}\neq 3^{0,25}+2^{0,5}}\)

[edit]
Bierp pisze: 4 paź 2021, o 10:58 Prawidłowy wynik tego zadania to: \(\displaystyle{ \sqrt{5+2 \sqrt{6} }+ \sqrt{5-2 \sqrt{6} } }\)
a to jest równe \(\displaystyle{ 2\sqrt 3}\)
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: JHN »

Ja bym zaczął
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{ \sqrt{3}+ \sqrt{2} }}{ \sqrt{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }}=\sqrt\frac{ { \sqrt{3}+ \sqrt{2} }}{ { \sqrt{3}- \sqrt{2} }}=
\sqrt\frac{ ( \sqrt{3}+ \sqrt{2} )( \sqrt{3}+ \sqrt{2} )}{ ( \sqrt{3}- \sqrt{2} )( \sqrt{3}+ \sqrt{2} )}= \ldots }\)


Pozdrawiam
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: kruszewski »

Zauważmy, że wspólny mianownik ma postać:

\(\displaystyle{ \frac{(*)}{ \sqrt{(a-b) \cdot (a+b) } } = \frac{(*)}{ \sqrt{(a^2 - b^2)} } }\)
Po podstawieniu: \(\displaystyle{ a = \sqrt{3} \ i \ b = \sqrt{2}
}\)
otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{(*) }{ \sqrt{ ( \sqrt{3} - \sqrt{2}) } \cdot {\sqrt{ ( \sqrt{3} + \sqrt{2} ) } } } = \frac{(*)}{ \sqrt{3 - 2 } } = \frac{(*)}{1} }\)

Dodano po 46 minutach 36 sekundach:
Licznik sumy tych ułamków ma postać:

\(\displaystyle{ \sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \cdot \sqrt{a - b} = a+b + a - b = 2a }\)
Podstawiając \(\displaystyle{ a= \sqrt{3} }\) otrzymujemy : wyrażenie na licznik sumy tych ułamków \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} }\)

Stąd suma tych ułamków jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{1} = 2 \sqrt{3} }\)

Błąd polegał na użyciu niewłaściwych wzorów i przeksztaceń.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: Jan Kraszewski »

Mówiąc krótko: pierwiastek sumy nie jest sumą pierwiastków. To samo z różnicą.

JK
Bierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 29 kwie 2017, o 14:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: Bierp »

Następny przykład. Dzięki potędze przed nawiasem opuściłem dwa główne pierwiastki, pomnożyłem zawartość drugiego przez minus oraz dokonałem prostych obliczeń,które widnieją poniżej. Wynik który uzyskałem nie jest tożsamy z książkowym, który wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}-2 }\). Proszę o nakierowanie na prawidłowe rozwiązanie.
\(\displaystyle{ ({ \sqrt{ \sqrt{3} - \sqrt{2} } } - { \sqrt{ \sqrt{3} + \sqrt{2} } }) ^{2}= \sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}=-2\sqrt{2} }\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Działania na pierwiastkach

Post autor: piasek101 »

Ale \(\displaystyle{ (a-b)^2\neq a^2-b^2}\) (poza małymi wyjątkami).

Masz \(\displaystyle{ (a-b)^2}\) jest to równe \(\displaystyle{ (a-b)(a-b)}\) albo z tak zwanych wzorów skróconego mnożenia.
ODPOWIEDZ