dowód z logarytmem

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

Witam. Mam wątpliwość co do poprawności tego dowodu:

Mając założenie, że \(\displaystyle{ c= \log_{2}18}\), mam wykazać, że

Teza: \(\displaystyle{ \log_{3}4= \frac{4}{c-1} }\)

I czy jeśli wyjdę od tezy i przekształcę ją równoważnie do postaci \(\displaystyle{ c= \log_{2}18}\), otrzymując założenie, to będzie to poprawny dowód?
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2021, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

Jeżeli przekształcisz równoważnie i napiszesz to, to będzie to poprawny (choć raczej nieelegancki) dowód.

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

A czy podstawienie założenia do tezy będzie bardziej eleganckie? I wówczas porównanie lewej i prawej strony?

Jest jakaś zasada w zadaniach na dowodzenie, od czego lepiej wyjść, a czego czego absolutnie nie można robić? Nie wiem jakim trafem, ale zawsze wybieram te mniej eleganckie sposoby.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 26 wrz 2021, o 22:40 A czy podstawienie założenia do tezy będzie bardziej eleganckie? I wówczas porównanie lewej i prawej strony?
To będzie wnioskowanie z tezy, czyli zupełnie do bani.

Jeżeli chcesz elegancko, to wyjdź od np. prawej strony tezy i korzystając z założenia (i własności logarytmów) dojdź do lewej strony.

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

Ale miałem dokładnie to samo na myśli z tym podstawieniem. Podstawić założenie do prawej strony i po przekształceniach otrzymać lewą stronę tezy. Nie chciałem manipulować całym równaniem tylko prawą stroną.

Czyli generalnie w zadaniach na dowodzenie mogę wyjść zarówno od tezy jak i od założenia, jak i "wstawiać" jedno do drugiego i wówczas zajmować się jedną stroną równania, próbując dowieść równości z drugą stroną?
Nie moge po prostu po takim podstawieniu zajmować się całym równaniem i mieszać lewej strony z prawą?
Ostatnio zmieniony 27 wrz 2021, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: próbując.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 26 wrz 2021, o 22:59 Ale miałem dokładnie to samo na myśli z tym podstawieniem. Podstawić założenie do prawej strony i po przekształceniach otrzymać lewą stronę tezy. Nie chciałem manipulować całym równaniem tylko prawą stroną.
To nie wynikało z tego, co napisałeś.
VanHezz pisze: 26 wrz 2021, o 22:59 Czyli generalnie w zadaniach na dowodzenie mogę wyjść zarówno od tezy jak i od założenia, jak i "wstawiać" jedno do drugiego i wówczas zajmować się jedną stroną równania, próbując dowieść równości z drugą stroną?
To jest dość niejasny opis.

Jeżeli dowodzisz prawdziwość jakiejś równości, to nigdzie we wnioskowaniu nie wolno Ci użyć tej równości. Natomiast możesz pokazać, że np. lewa strona równości jest równa innemu wyrażeniu, które z kolei jest równe jeszcze innemu itd. aż dojdziesz do prawej strony. Wtedy każda kolejna równość powinna być uzasadniona (wynikać z założenia, być konsekwencją znanych tożsamości itd.).

Czym innym jest równoważne przekształcanie równości. Jeżeli istotnie przekształcisz ją równoważnie do prawdy ("prawdą" może być np. założenie albo tożsamość), to jest to poprawny dowód, ale przekształcenia muszą być naprawdę równoważne, a Ty powinieneś zaznaczyć w dowodzie, iż jesteś świadom tego, że przekształcasz równoważnie (choć na poziomie matury jeśli same przekształcenia są poprawnie równoważne, to już komentarz nie jest wymagany - a szkoda...).

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

No dobrze, a czy mogę np. najpierw zacząć równoważnie przekształcać tezę i zatrzymać się na etapie, z którego jeszcze nic nie wynika, czyli zanim jeszcze dojdę do "prawdy" , a następnie zrobić to co napisałeś w pierwszym akapicie? Czyli wziąć jedną stronę i przekształcać ją, używając założeń, aby otrzymać drugą stronę? Czyli wtedy byłoby to wymieszanie tych dwóch no sposobów, o których piszesz.

Według mnie byloby to uzasadnione, bo do pewnego etapu przekształciłem tezę równoważnie, więc mogę zrobić potem to o czym piszesz w pierwszym akapicie.


Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 27 wrz 2021, o 08:49 No dobrze, a czy mogę np. najpierw zacząć równoważnie przekształcać tezę i zatrzymać się na etapie, z którego jeszcze nic nie wynika, czyli zanim jeszcze dojdę do "prawdy" , a następnie zrobić to co napisałeś w pierwszym akapicie? Czyli wziąć jedną stronę i przekształcać ją, używając założeń, aby otrzymać drugą stronę? Czyli wtedy byłoby to wymieszanie tych dwóch no sposobów, o których piszesz.
Jak dla mnie załeżałoby to od tego, jak taki dowód opiszesz. Problem na ogół polega na tym, że w takich dowodach jest dużo rachunków i nie ma ani śladu komentarza, więc tak naprawdę nie wiadomo, co piszący miał na myśli i czy jest to poprawny dowód (jeśli chodzi o strukturę logiczną), czy ściema.
VanHezz pisze: 27 wrz 2021, o 08:49 Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?
Tak, to jest przykład niepoprawnego rozumowania.

JK
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Dilectus »

JK, jestem pełen podziwu dla Twojego sposobu prowadzenia dyskusji i prowokowania matematycznego myślenia u rozmówców. Gratulacje! :)
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

Korzystajac z założonego tematu spytam jeszcze, czy moje przekształcenie w poniższym zadaniu jest równoważne.

Mam wykazać, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} }\) dla nieujemnych liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} }\)
\(\displaystyle{ a+b \ge 2 \sqrt{ab} }\) Podnoszę obustronnie do kwadratu, bo obie strony są nieujemne.

\(\displaystyle{ a^{2} +2ab+ b^{2} \ge 4ab}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\)

Dana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, w szczególności dla liczb nieujemnych. Tylko że z fałszu też może wynikać prawda, więc czy mam gwarancję, że wyjściowe wyrażenie jest prawdziwe? Rozumiem, że miałbym taką gwarancję, jeśli wszystkie pośrednie przekształcenia byłyby równoważne?

Tylko jestem ciekaw, czy podniesienie do kwadratu w tym przypadku daje równoważne wyrażenie. W końcu nie zmieniam dziedziny. Dziedziną nierówności pozostają liczby nieujemne.

Pozdrawiam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 4 paź 2021, o 17:27Tylko jestem ciekaw, czy podniesienie do kwadratu w tym przypadku daje równoważne wyrażenie.
W ogólności podnoszenie do kwadratu nie jest przejściem równoważnym, ale w tym wypadku, gdy obie strony nierówności są nieujemne, to podnoszenie do kwadratu JEST przejściem równoważnym.

Zatem jest to poprawne rozumowanie.

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

Rozumiem. A teraz właśnie mam wątpliwość w innym zadaniu, czy jeśli do pewnego etapu przekształcę tezę równoważnie i wezmę na tapet na pewnym etapie tylko jedną stronę i zastosuje w niej założenia, to czy będzie to poprawna metoda.

Mam wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\).

Założenie:
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\), czyli
\(\displaystyle{ x+y=-z}\)
\(\displaystyle{ x+z=-y}\)
\(\displaystyle{ y+z=-x}\)

Teza to:

\(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\) ,więc
\(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx \le 0}\). Na tym etapie biorę lewą stronę i przekształcam:

\(\displaystyle{ xy+xy+yz+yz+zx+zx=x(y+z)+y(x+z)+z(y+x) \stackrel{zał.}{=} -x^{2} -y^{2} -z^{2} =-(x^{2} +y^{2} +z^{2} ) \le 0}\), jako iloczyn \(\displaystyle{ (-1)}\) i liczby nieujemnej. Udowodniłem prawdziwość nierówności równoważnej do nierwówności wyjściowej, więc nierówność wyjściowa, teza, jest prawdziwa, c.n.d.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 5 paź 2021, o 12:56\(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\) ,więc
\(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx \le 0}\). Na tym etapie biorę lewą stronę i przekształcam:
Tak może być pod jednym warunkiem: nie użyjesz słowa "więc" ! Słowo "więc" oznacza wnioskowanie (w tym wypadku z tezy), a nie równoważne przekształcenie (tezy).

Powinno zatem być

\(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\) , czyli równoważnie \(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx \le 0}\). Na tym etapie biorę lewą stronę i przekształcam:

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: VanHezz »

A czy powiedzenie "skoro..., to" nie jest tym samym co powiedzenie "więc"? A przecież prawdą jest, że skoro \(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\), to \(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx \le 0}\). Myślałem, że każde przekształcenie równoważne, czyli np. dodanie, pomnożenie stronami, sprowadza się do powiedzenia, że skoro coś zachodzi, to po przeksztalceniu równoważnym to coś też zachodzi.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 5 paź 2021, o 15:20 A czy powiedzenie "skoro..., to" nie jest tym samym co powiedzenie "więc"?
Jest tym samym i też nie może być użyte.
VanHezz pisze: 5 paź 2021, o 15:20A przecież prawdą jest, że skoro \(\displaystyle{ xy+yz+zx \le 0}\), to \(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx \le 0}\).
Jest prawdą, ale to jest wnioskowanie z tezy. Bo "skoro..., to..." to wnioskowanie (a nie równoważność).
VanHezz pisze: 5 paź 2021, o 15:20 Myślałem, że każde przekształcenie równoważne, czyli np. dodanie, pomnożenie stronami, sprowadza się do powiedzenia, że skoro coś zachodzi, to po przeksztalceniu równoważnym to coś też zachodzi.
To jest kwestia umiejętnego i poprawnego formułowania rozumowań. Oczywiście na poziomie szkolno-maturalnym nikt sobie (niestety) nie zawraca tym głowy - wystarczy zapisać bez żadnego komentarza przekształcenie równoważne i już wszyscy są szczęśliwi...

Ja mam wyższe wymagania: oczekuję nie tylko zapisania przekształcenia równoważnego, ale też wykazania się świadomością, że to jest przekształcenie równoważne oraz świadomością tego, że ta równoważność jest ważna (czyli odróżniania wynikania od równoważności, "skoro...to..." to co innego niż "wtedy i tylko wtedy, gdy..."). A do tego trzeba stosownego doboru sformułowań. Dlatego czepiam się słówek.

JK
ODPOWIEDZ