Dowód z zastosowaniem średniej arytmetycznej, geometrycznej, kwadratowej

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Maja2424
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2021, o 10:22
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Dowód z zastosowaniem średniej arytmetycznej, geometrycznej, kwadratowej

Post autor: Maja2424 »

Proszę o pomoc.
zrobiłam już ok 30 dowodów, a na te nie mam pomysłu.

Z góry dziękuję za pomoc

1. Wykaż, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ xy = 9}\), to \(\displaystyle{ (x + y) (y + z) \ge (z + 3)^2. }\)

2. Wykaż, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są dodatnie to

\(\displaystyle{ \frac{2a+c}{b}+\frac{b + 5d}{c}+\frac{2 bd + 5ac}{ad} \ge 16.}\)

3. Wykaż, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są dodatnie, to

\(\displaystyle{ 5 \cdot \left( \frac{ a^{2} }{ b^{2} }+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right) +\frac{6 (a+b)^{2} - 12ab }{ab} \ge 22.}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2021, o 11:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Dowód z zastosowaniem średniej arytmetycznej, geometrycznej, kwadratowej

Post autor: Tmkk »

1. tu jest jakiś błąd, bo ta nierówność jest nieprawdziwa (wstaw sobie \(\displaystyle{ x=3, y=3, z = 17}\). Może chodziło o \(\displaystyle{ (x+z)(y+z)}\)?

2. Zacznij od rozdzielenia ułamków, tzn na przykład \(\displaystyle{ \frac{2a + c}{b} = \frac{2a}{b} + \frac{c}{b}}\).

3. Rozpatrz oddzielnie pierwszy i drugi składnik sumy po lewej stronie. Dla drugiego składnika, uprość co nie co w liczniku.
Maja2424
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2021, o 10:22
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Re: Dowód z zastosowaniem średniej arytmetycznej, geometrycznej, kwadratowej

Post autor: Maja2424 »

Tak zgadza się w pierwszym zadaniu jest w błąd ale nie ja źle przepisałam tylko jest błąd w książce. Po wstawieniu (x+z) (y+z) zadanie wyszło. Z resztą też dałam rady i faktycznie nie wpadłam na to że trzeba to rozbić na umłamki i pięknie wychodzi.

ślicznie dziękuje:)
ODPOWIEDZ