Kaczor, Nowak - problem z rozwiązaniem wzorcowym

[Premislav]

Niech będzie pochwalony Jarosław Kaczyński. Mój problem wiąże się z rozwiązaniem zadania 1.2.46a) z książki Zadania z analizy matematycznej, W. Kaczor, T. Nowak, PWN Warszawa 2012.
Teza:
jeśli \(\displaystyle{ 0<a_{1}\le a_{2}\ldots \le a_{n}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+\ldots+\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}+a_n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}+a_1}+\frac{a_{n}}{a_1+a_2}\ge \frac n 2}\)
(a więc taki dość szczególny wariant Shapiro).

W rozwiązaniu wykorzystywana jest nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}+a_1}+\frac{a_{n}}{a_1+a_2}\ge \frac{a_1}{2a_3}+\frac{a_2}{2a_4}+\ldots+\frac{a_{n-2}}{2a_n}+\frac{a_{n-1}}{2a_1}+\frac{a_n}{2a_2}}\),
która nie została w żaden sposób skomentowana, prócz powołania się na założenie, co sugeruje, że szacowanie jest bardzo elementarne. Pachnie mi to oszacowaniem mianowników z góry, które jest zwyczajnie błędne, bo może być \(\displaystyle{ a_n+a_1>2a_1}\). Nie bardzo daje się to naprawić, albowiem nie istnieje tego typu szacowanie, które wyprodukuje nam minorantę, w której dokładnie w jednym ułamku występuje \(\displaystyle{ a_1}\) w mianowniku, wszak \(\displaystyle{ a_1=\min_{1\le i\le n}a_i}\). A może chodziło o coś innego?

[Tmkk]

No tak, ta pomocnicza nierówność nie ma zbytnio sensu, bo jak \(\displaystyle{ a_1}\) jest blisko \(\displaystyle{ 0}\), a reszta wyrazów nie, to wyrażenie po prawej stronie wywala do nieskończoności