Równanie - przypadki
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Równanie - przypadki
\(\displaystyle{ \sqrt{x-4}=2}\)
Określenie dziedziny:
\(\displaystyle{ x-4\ge 0 \\
x \ge 4 \\
D \in <4, + \infty ) }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-4}=2 |^{2} \\
\left| x-4\right| =4 \\
x-4=4 \vee x-4=-4 \\
x=8 \vee x=0 _{\notin D \in <4, +\infty )}
}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=8}\)
Chciałam zapytać, dlaczego niektórzy rozwiązujący w ogóle nie rozpatrują drugiego przypadku: \(\displaystyle{ x-4=-4}\)? Czy tak można? Jeśli tak, to skąd powinniśmy wiedzieć, że tego przypadku nie trzeba rozpatrywać, ponieważ nie należy do dziedziny, bez rozpisania na dwa przypadki, tak jak ja to zrobiłam?
Z góry bardzo dziękuję za odpowiedź.
Określenie dziedziny:
\(\displaystyle{ x-4\ge 0 \\
x \ge 4 \\
D \in <4, + \infty ) }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-4}=2 |^{2} \\
\left| x-4\right| =4 \\
x-4=4 \vee x-4=-4 \\
x=8 \vee x=0 _{\notin D \in <4, +\infty )}
}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=8}\)
Chciałam zapytać, dlaczego niektórzy rozwiązujący w ogóle nie rozpatrują drugiego przypadku: \(\displaystyle{ x-4=-4}\)? Czy tak można? Jeśli tak, to skąd powinniśmy wiedzieć, że tego przypadku nie trzeba rozpatrywać, ponieważ nie należy do dziedziny, bez rozpisania na dwa przypadki, tak jak ja to zrobiłam?
Z góry bardzo dziękuję za odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Nie wymyśliłam, ponieważ uczono mnie, że ZAWSZE gdy podnosimy wyrażenie pod pierwiastkiem do kwadratu, to zapisujemy je w wartości w bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki, po czym sprawdzamy czy uzyskane wyniki należą do dziedziny.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie - przypadki
To ma sens, jeżeli wyrażenie pod pierwiastkiem jest podniesione do kwadratu. Wtedy pierwiastek z tego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia.
Ale w takim przypadku jaki podałaś nie ma to sensu.
Ale w takim przypadku jaki podałaś nie ma to sensu.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Po pierwsze dlaczego w takim przypadku to nie ma sensu? Przecież tu również ,,...wyrażenie pod pierwiastkiem jest podniesione do kwadratu. Wtedy pierwiastek z tego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia."
Po drugie, jeżeli z jakiegoś powodu rozpatrzenie tego przypadku jest zbędne, to czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego przypadku nie stanowi błędu?
Po drugie, jeżeli z jakiegoś powodu rozpatrzenie tego przypadku jest zbędne, to czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego przypadku nie stanowi błędu?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie - przypadki
Myślę że że zamiast regułek lepiej rozumieć co się robi.. liczba pod pierwiastkiem jest nieujemną, więc ujmowanie jej w wartość bezwzględna nie ma sensu.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Pewnie chodzi o to, że zakładamy, że wyrażenie pod pierwiastkiem zawsze jest większe lub równe zero, więc nie ma możliwości, żeby było równe \(\displaystyle{ −4}\). A czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego drugiego przypadku nie stanowi błędu, jeśli na końcu tak jak ja to zrobiłam, je odrzucimy, ponieważ nie należy ono do dziedziny?
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie - przypadki
\(\displaystyle{ \sqrt{a} = b}\)
Po podniesieniu obu stron do kwadratu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a = b^2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą rzeczywistą, to co powiesz o liczbie \(\displaystyle{ a}\)?
Po podniesieniu obu stron do kwadratu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a = b^2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą rzeczywistą, to co powiesz o liczbie \(\displaystyle{ a}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą większą od zera. Czy sugeruje Pan w takim razie, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędne, mimo późniejszego odrzucenia go ze względu na to, że nie należy do dziedziny?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie - przypadki
Wydaje mi się, że w mechanicznym uczeniu się pomyliłaś dwa wzorki
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{x}\right)^2=x}\)
I
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\)
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{x}\right)^2=x}\)
I
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie - przypadki
Lub równa zero.Karolinaa0 pisze: ↑16 sie 2021, o 20:11 Że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą większą od zera.
Sugeruję, że konieczne jest określenie dziedziny, ponieważ dla \(\displaystyle{ a < 0}\) wyrażenie jest bez sensu. Jak już mamy określoną dziedzinę i jesteśmy pewni, że to co napisaliśmy jest możliwe do zrobienia, to teraz mam drugie pytanie:Karolinaa0 pisze: ↑16 sie 2021, o 20:11 Czy sugeruje Pan w takim razie, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędne, mimo późniejszego odrzucenia go ze względu na to, że nie należy do dziedziny?
W jakim celu jest ta wartość bezwzględna? Bo wygląda jakbyś dopuszczała, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Dokładnie obydwaj Panowie mają rację, czyli rozumiem, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędem?
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Równanie - przypadki
Zastanawiałam się nad wzorami \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}}=\left| x\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}\right)^{2}=x}\). Skąd wynika taka a nie inna teoria? Po podstawieniu dowolnej liczby, mamy np.: \(\displaystyle{ \sqrt{9^{2}}=\sqrt{81}=\left| 9 \right| = 9 \vee -9}\) więc według mnie również: \(\displaystyle{ \left( \sqrt{9}\right)^{2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{9}=\sqrt{9 \cdot 9}= \sqrt{81} =\left| 9 \right| = 9 \vee -9}\)
Z góry dziękuję za wyjaśnienie moich wątpliwości, skąd wynika brak wartości bezwzględnej w drugim wzorze (na przykładzie pokazałam dlaczego nie rozumiem jego idei)
Z góry dziękuję za wyjaśnienie moich wątpliwości, skąd wynika brak wartości bezwzględnej w drugim wzorze (na przykładzie pokazałam dlaczego nie rozumiem jego idei)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Równanie - przypadki
1. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\) ma sens dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a \in \RR}\) i zawsze jest równe \(\displaystyle{ |a|}\).
2. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2}\) ma sens tylko gdy \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą nieujemną i jest wtedy równe \(\displaystyle{ a}\), (co można na siłę zapisać jako \(\displaystyle{ |a|}\) skoro \(\displaystyle{ a}\) i tak jest nieujemna).
Dlaczego tak jest? Wynika to z definicji pierwiastka: jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą nieujemną, to jej pierwiastkiem nazywamy jedyną nieujemną liczbę \(\displaystyle{ a}\) spełniającą \(\displaystyle{ a^2 = b}\). Dalej:
1. Gdy \(\displaystyle{ a \in \RR}\), równanie \(\displaystyle{ x^2 = a^2}\) ma dokładnie dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ -a}\). Stąd z definicji \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\) musi zawsze przyjąć jedną z tych dwóch wartości, a dokładniej tę z nich, która jest nieujemna, czyli w istocie \(\displaystyle{ |a|}\).
2. Liczba \(\displaystyle{ c = \sqrt{a}}\) z definicji jest nieujemną liczbą spełniającą \(\displaystyle{ c^2 = a}\), co daje \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2 = a}\).
Odnośnie zaś Twoich obliczeń: rzeczywiście jest tak, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{9^2}}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2}\) równają się \(\displaystyle{ |9|}\) (czyli notabene po prostu \(\displaystyle{ 9}\), a nie \(\displaystyle{ 9 \vee -9}\)) i dlatego Twoje początkowe rozwiązanie jest poprawne. Ale prawdziwy jest również wzór \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2 = 9}\) (a ogólnie: \(\displaystyle{ \sqrt{x}^2 = x}\)) i jego użycie pozwala oszczędzić sobie rozpatrywania drugiego przypadku.
2. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2}\) ma sens tylko gdy \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą nieujemną i jest wtedy równe \(\displaystyle{ a}\), (co można na siłę zapisać jako \(\displaystyle{ |a|}\) skoro \(\displaystyle{ a}\) i tak jest nieujemna).
Dlaczego tak jest? Wynika to z definicji pierwiastka: jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą nieujemną, to jej pierwiastkiem nazywamy jedyną nieujemną liczbę \(\displaystyle{ a}\) spełniającą \(\displaystyle{ a^2 = b}\). Dalej:
1. Gdy \(\displaystyle{ a \in \RR}\), równanie \(\displaystyle{ x^2 = a^2}\) ma dokładnie dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ -a}\). Stąd z definicji \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\) musi zawsze przyjąć jedną z tych dwóch wartości, a dokładniej tę z nich, która jest nieujemna, czyli w istocie \(\displaystyle{ |a|}\).
2. Liczba \(\displaystyle{ c = \sqrt{a}}\) z definicji jest nieujemną liczbą spełniającą \(\displaystyle{ c^2 = a}\), co daje \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2 = a}\).
Odnośnie zaś Twoich obliczeń: rzeczywiście jest tak, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{9^2}}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2}\) równają się \(\displaystyle{ |9|}\) (czyli notabene po prostu \(\displaystyle{ 9}\), a nie \(\displaystyle{ 9 \vee -9}\)) i dlatego Twoje początkowe rozwiązanie jest poprawne. Ale prawdziwy jest również wzór \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2 = 9}\) (a ogólnie: \(\displaystyle{ \sqrt{x}^2 = x}\)) i jego użycie pozwala oszczędzić sobie rozpatrywania drugiego przypadku.