Równanie - przypadki

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

\(\displaystyle{ \sqrt{x-4}=2}\)
Określenie dziedziny:
\(\displaystyle{ x-4\ge 0 \\
x \ge 4 \\
D \in <4, + \infty ) }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x-4}=2 |^{2} \\
\left| x-4\right| =4 \\
x-4=4 \vee x-4=-4 \\
x=8 \vee x=0 _{\notin D \in <4, +\infty )}
}\)

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=8}\)
Chciałam zapytać, dlaczego niektórzy rozwiązujący w ogóle nie rozpatrują drugiego przypadku: \(\displaystyle{ x-4=-4}\)? Czy tak można? Jeśli tak, to skąd powinniśmy wiedzieć, że tego przypadku nie trzeba rozpatrywać, ponieważ nie należy do dziedziny, bez rozpisania na dwa przypadki, tak jak ja to zrobiłam?
Z góry bardzo dziękuję za odpowiedź.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: a4karo »

Przecież sama napisałaś warunek, że to co pod pierwiastkiem musi być dodatnie.

A tę wartość bezwzględną sobie wymyśliłaś
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Nie wymyśliłam, ponieważ uczono mnie, że ZAWSZE gdy podnosimy wyrażenie pod pierwiastkiem do kwadratu, to zapisujemy je w wartości w bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki, po czym sprawdzamy czy uzyskane wyniki należą do dziedziny.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Bran »

To ma sens, jeżeli wyrażenie pod pierwiastkiem jest podniesione do kwadratu. Wtedy pierwiastek z tego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia.

Ale w takim przypadku jaki podałaś nie ma to sensu.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Po pierwsze dlaczego w takim przypadku to nie ma sensu? Przecież tu również ,,...wyrażenie pod pierwiastkiem jest podniesione do kwadratu. Wtedy pierwiastek z tego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia."
Po drugie, jeżeli z jakiegoś powodu rozpatrzenie tego przypadku jest zbędne, to czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego przypadku nie stanowi błędu?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: a4karo »

Myślę że że zamiast regułek lepiej rozumieć co się robi.. liczba pod pierwiastkiem jest nieujemną, więc ujmowanie jej w wartość bezwzględna nie ma sensu.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Pewnie chodzi o to, że zakładamy, że wyrażenie pod pierwiastkiem zawsze jest większe lub równe zero, więc nie ma możliwości, żeby było równe \(\displaystyle{ −4}\). A czy ewentualne (choć zbędne) rozpatrzenie tego drugiego przypadku nie stanowi błędu, jeśli na końcu tak jak ja to zrobiłam, je odrzucimy, ponieważ nie należy ono do dziedziny?
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Bran »

\(\displaystyle{ \sqrt{a} = b}\)
Po podniesieniu obu stron do kwadratu, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a = b^2}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą rzeczywistą, to co powiesz o liczbie \(\displaystyle{ a}\)?
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą większą od zera. Czy sugeruje Pan w takim razie, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędne, mimo późniejszego odrzucenia go ze względu na to, że nie należy do dziedziny?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: a4karo »

Wydaje mi się, że w mechanicznym uczeniu się pomyliłaś dwa wzorki

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{x}\right)^2=x}\)
I
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\)
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Bran »

Karolinaa0 pisze: 16 sie 2021, o 20:11 Że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą większą od zera.
Lub równa zero.
Karolinaa0 pisze: 16 sie 2021, o 20:11 Czy sugeruje Pan w takim razie, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędne, mimo późniejszego odrzucenia go ze względu na to, że nie należy do dziedziny?
Sugeruję, że konieczne jest określenie dziedziny, ponieważ dla \(\displaystyle{ a < 0}\) wyrażenie jest bez sensu. Jak już mamy określoną dziedzinę i jesteśmy pewni, że to co napisaliśmy jest możliwe do zrobienia, to teraz mam drugie pytanie:
W jakim celu jest ta wartość bezwzględna? Bo wygląda jakbyś dopuszczała, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Dokładnie obydwaj Panowie mają rację, czyli rozumiem, że rozpatrywanie drugiego przypadku jest błędem?
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Bran »

W takim wypadku polecam nie rozpatrywać.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Karolinaa0 »

Zastanawiałam się nad wzorami \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}}=\left| x\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}\right)^{2}=x}\). Skąd wynika taka a nie inna teoria? Po podstawieniu dowolnej liczby, mamy np.: \(\displaystyle{ \sqrt{9^{2}}=\sqrt{81}=\left| 9 \right| = 9 \vee -9}\) więc według mnie również: \(\displaystyle{ \left( \sqrt{9}\right)^{2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{9}=\sqrt{9 \cdot 9}= \sqrt{81} =\left| 9 \right| = 9 \vee -9}\)
Z góry dziękuję za wyjaśnienie moich wątpliwości, skąd wynika brak wartości bezwzględnej w drugim wzorze (na przykładzie pokazałam dlaczego nie rozumiem jego idei) :)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie - przypadki

Post autor: Dasio11 »

1. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\) ma sens dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a \in \RR}\) i zawsze jest równe \(\displaystyle{ |a|}\).

2. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2}\) ma sens tylko gdy \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą nieujemną i jest wtedy równe \(\displaystyle{ a}\), (co można na siłę zapisać jako \(\displaystyle{ |a|}\) skoro \(\displaystyle{ a}\) i tak jest nieujemna).

Dlaczego tak jest? Wynika to z definicji pierwiastka: jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą nieujemną, to jej pierwiastkiem nazywamy jedyną nieujemną liczbę \(\displaystyle{ a}\) spełniającą \(\displaystyle{ a^2 = b}\). Dalej:

1. Gdy \(\displaystyle{ a \in \RR}\), równanie \(\displaystyle{ x^2 = a^2}\) ma dokładnie dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ -a}\). Stąd z definicji \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\) musi zawsze przyjąć jedną z tych dwóch wartości, a dokładniej tę z nich, która jest nieujemna, czyli w istocie \(\displaystyle{ |a|}\).

2. Liczba \(\displaystyle{ c = \sqrt{a}}\) z definicji jest nieujemną liczbą spełniającą \(\displaystyle{ c^2 = a}\), co daje \(\displaystyle{ \sqrt{a}^2 = a}\).


Odnośnie zaś Twoich obliczeń: rzeczywiście jest tak, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{9^2}}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2}\) równają się \(\displaystyle{ |9|}\) (czyli notabene po prostu \(\displaystyle{ 9}\), a nie \(\displaystyle{ 9 \vee -9}\)) i dlatego Twoje początkowe rozwiązanie jest poprawne. Ale prawdziwy jest również wzór \(\displaystyle{ \sqrt{9}^2 = 9}\) (a ogólnie: \(\displaystyle{ \sqrt{x}^2 = x}\)) i jego użycie pozwala oszczędzić sobie rozpatrywania drugiego przypadku.
ODPOWIEDZ