Układ równań z częściami całkowitymi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Antoni_Luczak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 cze 2021, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 14

Układ równań z częściami całkowitymi

Post autor: Antoni_Luczak »

Ostatnio natrafiłem na pewne zadanie z olimpiady matematycznej (om48, etap 1, zadanie nr 1). Oto jego treść:
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot \lfloor x \rfloor + y \cdot \lfloor y \rfloor = 1\\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor = 1 \end{cases} }\)
W rozwiązaniu, które można znaleźć na stronie archiwum olimpiady jest napisane, że jedynymi rozwiązaniami są pary:
\(\displaystyle{ (x = 0, y = 1)}\) oraz \(\displaystyle{ (x = 1, y = 0)}\)
Jestem jednak przekonany, że rozwiązań tych jest nieskończenie wiele, ponieważ:
\(\displaystyle{ \lfloor a \rfloor = 0}\) dla każdego takiego a, że \(\displaystyle{ 0 \le a < 1}\)
Zatem pary \(\displaystyle{ (x = 1, y = a)}\) oraz \(\displaystyle{ (x = a, y = 1)}\) również spełniają ten układ.
Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś wskazał miejsce, w którym popełniłem błąd, albo potwierdził, że rozwiązanie z archiwum nie jest do końca prawidłowe.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Układ równań z częściami całkowitymi

Post autor: Jan Kraszewski »

A zauważyłeś, że źle przepisałeś treść zadania? W pierwszym równaniu powinny być wartości bezwzględne, a nie części całkowite.

JK
Antoni_Luczak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 cze 2021, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 14

Re: Układ równań z częściami całkowitymi

Post autor: Antoni_Luczak »

Masz rację, dziękuję
ODPOWIEDZ