Nierówność z iloczynem

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Nierówność z iloczynem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(s_1+1)...(s_n+1)} \leq (x_1+1)...(x_n+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ s_k = \frac{x_1+...+x_k}{k} }\) oraz \(\displaystyle{ x_j >0}\).
Ostatnio zmieniony 5 sie 2021, o 18:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Nierówność z iloczynem

Post autor: Premislav »

Bardzo słaba ta nierówność, na pewno dobrze przepisane :?:
Połóżmy \(\displaystyle{ a_i=x_i+1}\), wówczas \(\displaystyle{ a_i>1, \ i=1,2\ldots n}\), a teza przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n\left(\frac 1 k\sum_{i=1}^ka_{i}\right)}\le \prod_{i=1}^n a_i}\).

Teraz oczywisty lemat: gdy \(\displaystyle{ a_i\ge 1, \ i=1\ldots k}\), to
\(\displaystyle{ \frac 1 k\sum_{i=1}^ka_{i}\le \prod_{i=1}^k a_i}\). Równoważnie:
\(\displaystyle{ 0\le\sum_{i=1}^ka_i\left(\left(\prod_{j=1\\j\neq i}^na_j\right)-1\right)}\)
co jest jasne.

Dzięki powyższemu otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n\left(\frac 1 k\sum_{i=1}^ka_{i}\right)}\le \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n\prod_{i=1}^ka_{i}}=\prod_{i=1}^n a_i^{\frac{n-i+1}n}\le \prod_{i=1}^na_{i}}\).

Równość nie zachodzi, bo skoro \(\displaystyle{ x_{i}>0\ldots}\)
ODPOWIEDZ