Nierówność z sumą potęg

[albanczyk123456]

Udowodnić, że dla całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) zachodzie nierówność:
\(\displaystyle{ 3^n+4^n+...+(n+1)^n+(n+2)^n \le (n+3)^n}\)

Próbowałem to zrobić z indukcji, ale nie umiem wyciągnąć niczego sensownego z nierówności dla \(\displaystyle{ n}\).
Próbowałem też jakoś to oszacować, dosyć grubo np:
\(\displaystyle{ (n-1)(n+2)^n \le (n+3)^n}\)
Ale też za bardzo nie wiem jak to by dalej pociągnąć.
Proszę o wskazówkę do zadania.

[Premislav]

Trochę brzydko. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza jest wręcz oczywista, dalej przyjmijmy \(\displaystyle{ n\ge 2}\).
Znajdziemy taką „możliwie małą" stałą dodatnią \(\displaystyle{ \alpha}\), że zajdzie nierówność
\(\displaystyle{ x^{n}\le \alpha\left((x+1)^n-x^n\right), \ x=3,4\ldots n+1 \ (*)}\)
W tym celu dzielimy nierówność stronami przez \(\displaystyle{ x^{n}}\), co prowadzi nas do równoważnej
\(\displaystyle{ 1\le \alpha\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^n-1\right)}\)
a następnie używamy swoistego wzmocnienia nierówności Bernoulliego (którego dowód w dodatnich jest trywialny przez rozpisanie ze wzoru dwumianowego i usunięcie części dodatnich składników):
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}\ge 1+\frac{n}{x}+\frac{{n\choose 2}}{x^2}}\).
Wystarczy więc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest takie, by zaszło
\(\displaystyle{ 1\le \alpha\left(\frac{n}{x}+\frac{{n\choose 2}}{x^2}\right), \ x=3,4\ldots n+1}\).
Oczywiście ten drugi czynnik przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x=n+1}\), toteż działa
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{\frac{n}{n+1}+\frac{{n\choose 2}}{(n+1)^2}}=\frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}}\).

Teraz dodajemy stronami \(\displaystyle{ (*)}\) z odpowiednią alfą dla \(\displaystyle{ k=3,4\ldots n+1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ 3^{n}+4^{n}+\ldots+(n+1)^n\le \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}\left((n+2)^n-3^n\right)}\) .
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ (n+3)^n-(n+2)^n\ge \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}\left((n+2)^n-3^n\right)}\),
a okazuje się, że całkiem szybko zaczyna zachodzić prostsza technicznie nierówność
\(\displaystyle{ (n+3)^n-(n+2)^n\ge \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}(n+2)^n}\).

To zachodzi bodajże dla \(\displaystyle{ n\ge 5}\) (i dowód tego warto rozpocząć od podzielenia przez \(\displaystyle{ (n+2)^n}\), a potem rozważyć pewne dwa ciągi i udowodnić, że jeden rośnie, drugi zaś maleje). Pozostałe przypadki umiem sprawdzić tylko ręcznie. No ale to całkiem małe liczby…

NB mniej technicznego babrania się w szacowaniach jest, gdy się skorzysta z rachunku całkowego, ale wtedy (chyba że ktoś działa subtelniej niż ja) dostaniemy prawdziwość dla \(\displaystyle{ n\ge 8}\), czyli jeszcze więcej użerania się z małymi wartościami \(\displaystyle{ n}\)…

[timon92]

@up pomysłowe, ale trochę przekombinowane

proponuję coś takiego: sprawdzamy na palcach, że działa dla \(n=1,2,3\), a krok indukcyjny wykonujemy tak:
\[3^{n+1}+4^{n+1}+\ldots+(n+2)^{n+1}+(n+3)^{n+1} < (n+2)(3^n+4^n+\ldots+(n+2)^n) + (n+3)^{n+1} \le (n+2)(n+3)^n+(n+3)^{n+1} = (2n+5)(n+3)^n\]
i do dokończenia dowodu wystarczy sprawdzić, że \((2n+5)(n+3)^n\le (n+4)^{n+1}\)

równoważnie: \(\frac{2n+5}{n+3} \le \left(1+\frac{1}{n+3}\right)^{n+1}\)

szacujemy prawą stronę: \(\left(1+\frac{1}{n+3}\right)^{n+1} \ge 1 + (n+1)\cdot\frac{1}{n+3}+\frac{(n+1)n}{2}\cdot \left(\frac{1}{n+3}\right)^2 \) i wystarczy sprawdzić, iż \(1 + (n+1)\cdot\frac{1}{n+3}+\frac{(n+1)n}{2}\cdot \left(\frac{1}{n+3}\right)^2 \ge \frac{2n+5}{n+3}\), a to po wymnożeniu wszystkiego i przekształceniach jest równoważne \((n-3)(n+2)\ge 0\), co zachodzi dla \(n\ge 3\)