Nierówność dla dodatnich

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a+b+c \geq 3}\), to \(\displaystyle{ abc+2 \geq \frac{9}{a^3+b^3+c^3} }\).

Ukryta treść:    

--> Crux problem 4191

[Premislav]

Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c>0, \ a+b+c>3}\), to dla \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ abc+2-\frac{9}{a^3+b^3+c^3}> x^3abc+2-\frac{9}{x^3\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ abc\left(1-x^3\right)> 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{9}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\left(\frac{1}{x^3}-1\right)> 0}\).
W szczególności manewr ten działa dla
\(\displaystyle{ x:=\frac{3}{a+b+c}}\). Dlatego wystarczy rozważyć przypadek \(\displaystyle{ a+b+c=3}\), którym dalej się zajmę.

Przekształcamy nierówność z tezy do równoważnej postaci
\(\displaystyle{ \left(a^3+b^3+c^3\right)(abc+2)\ge 9}\), określamy \(\displaystyle{ f(a,b,c)=\left(a^3+b^3+c^3\right)(abc+2)}\), przyjmujemy WLOG \(\displaystyle{ c=\min\left\{a,b,c\right\}}\) i mamy wówczas:
\(\displaystyle{ f(a,b,c)\ge f\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c\right)\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow
\frac{1}{16}(a-b)^2\left( 9a^2bc+9ab^2c+24a+24b-a^3c-b^3c-4c^4\right)\ge 0}\)
co wydaje się dość oczywiste, wszak z uwagi na warunki \(\displaystyle{ a+b+c=3, \ c=\min\left\{a,b,c\right\}}\) mamy \(\displaystyle{ c\le 1}\) i wobec tego
\(\displaystyle{ a+b=3-c\ge 2}\)
oraz
\(\displaystyle{ 9a^2bc+9ab^2c-4c^4\ge 18c^4-4c^4=14c^4>0, \\24a+24b-a^3c-b^3c\ge 48-\left(a^3+b^3\right)>48-(a+b+c)^3=21>0}\)

Pozostaje wykazać, że gdy \(\displaystyle{ 1\ge c>0}\), to
\(\displaystyle{ f\left(\frac{3-c}{2}, \frac{3-c}{2}, c \right)\ge 9}\)
a to jest niezbyt intrygujące ćwiczenie z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, c.k.d.

Jeśli ktoś tak woli,
\(\displaystyle{ \left(2\left(\frac{3-x}{2}\right)^3+x^3\right)\left(\left(\frac{3-x}{2}\right)^2x+2\right)-9=\frac{3}{16}(x-1)^2\left(x^4-x^3-21x^2+57x+24\right)}\)
i nieujemność, a nawet dodatniość tego ostatniego czynnika dla \(\displaystyle{ x\in (0,1]}\) jest dość oczywista.

Równość w nierówności zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).