Podnoszenie wartości bezwzględnej do kwadratu

[zaeraan]

Jakie założenia należy uwzględnić podnosząc taką nierówność do kwadratu? Wiem, że można to rozwiązać bez podnoszenia rozbijając na przypadki ale interesuje mnie, jak wyglądałoby to w poniższej sytuacji:

\(\displaystyle{ |3x−4|≤x+1 \:\: /^2}\)

Natomiast w przypadku równania muszę założyć że obie strony są dodatnie albo obie ujemne. Jako że wart. bezwzględna sama w sobie jest nieujemna, to mogę podnieść to równanie do kwadratu tylko w sytuacji, gdy również druga strona równania jest nieujemna, prawda?

\(\displaystyle{ |3x+1|=4x \:\: /^2 \\
zał: \:\: 4x>0 \Rightarrow x>0 \\ \\
(3x+1)^2=16x^2


}\)

[Jan Kraszewski]

Jakie założenia należy uwzględnić podnosząc taką nierówność do kwadratu? Wiem, że można to rozwiązać bez podnoszenia rozbijając na przypadki ale interesuje mnie, jak wyglądałoby to w poniższej sytuacji:

\(\displaystyle{ |3x−4|≤x+1 \:\: /^2}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x+1\ge 0}\), to możesz podnosić obustronnie do kwadratu.
Jeżeli \(\displaystyle{ x+1< 0}\), to wtedy nierówność nie jest spełniona, bo ten warunek pociąga \(\displaystyle{ |3x-4|<0.}\)

\(\displaystyle{ |3x+1|=4x \:\: /^2}\)

Ale to jest inna nierówność, niż ta na początku...

JK

[zaeraan]

\(\displaystyle{ |3x+1|=4x \:\: /^2}\)
Ale to jest inna nierówność, niż ta na początku...

Miałem tutaj na myśli inny przykład wartości bezwzględnej, tym razem w równaniu

[Jan Kraszewski]

Miałem tutaj na myśli inny przykład wartości bezwzględnej, tym razem w równaniu

Ech, gdzie ja widziałem nierówność...

W równaniu zawsze możesz podnieść do kwadratu bez rozpatrywania przypadków, jeśli stosujesz metodę analizy starożytnych - musisz na końcu sprawdzić, które rozwiązania są prawdziwe, a które fałszywe.

JK