Przesunięte potęgi
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 747 razy
Przesunięte potęgi
Zbadać, czy gdy \(\displaystyle{ m>n}\) i \(\displaystyle{ x>1}\), to \(\displaystyle{ (1+x^n)^m > (1+x^m)^n}\).
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2021, o 18:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Przesunięte potęgi
Tak.
Podzielmy stronami nierówność przez \(\displaystyle{ x^{nm}}\) i podstawmy \(\displaystyle{ t:=\frac{1}{x}}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), a nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Teraz jeśli \(\displaystyle{ n\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{n}+1\right)^{n}\ge\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Natomiast jeżeli \(\displaystyle{ n<0}\), to dla \(\displaystyle{ m\ge 0}\) teza jest oczywista, a dla \(\displaystyle{ m<0}\)
równoważnie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left(1+t^{m}\right)^{-n}>\left(1+t^{n}\right)^{-m}\\\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-m}+1\right)^{-n}>\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-n}+1\right)^{-m}\\\left(1+t^{-m}\right)^{-n}>\left(1+t^{-n}\right)^{-m}}\)
i mamy \(\displaystyle{ -n>-m\ge 0}\)
czyli sprowadziliśmy ten przypadek do poprzedniego.
Podzielmy stronami nierówność przez \(\displaystyle{ x^{nm}}\) i podstawmy \(\displaystyle{ t:=\frac{1}{x}}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), a nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Teraz jeśli \(\displaystyle{ n\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{n}+1\right)^{n}\ge\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Natomiast jeżeli \(\displaystyle{ n<0}\), to dla \(\displaystyle{ m\ge 0}\) teza jest oczywista, a dla \(\displaystyle{ m<0}\)
równoważnie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left(1+t^{m}\right)^{-n}>\left(1+t^{n}\right)^{-m}\\\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-m}+1\right)^{-n}>\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-n}+1\right)^{-m}\\\left(1+t^{-m}\right)^{-n}>\left(1+t^{-n}\right)^{-m}}\)
i mamy \(\displaystyle{ -n>-m\ge 0}\)
czyli sprowadziliśmy ten przypadek do poprzedniego.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Przesunięte potęgi
Dodajmy do tego takie ładne twierdzenie:
Jeżli `0<p<q`, to dla dowolnych dodatnich `a_1,...,a_n` mamy
Jeżli `0<p<q`, to dla dowolnych dodatnich `a_1,...,a_n` mamy
\(\displaystyle{ (a_1^q+\dots+a_n^q)^{1/q}<(a_1^p+\dots+a_n^p)^{1/p}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Przesunięte potęgi
Dowód:
nierówność jest jednorodna, więc bez straty ogólności można przyjąć \(\displaystyle{ a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}=1}\).
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ LHS=1=\left(a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}\right)^{\frac{1}{p}}<\left(a_{1}^{p}+\ldots+a_{n}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\)
wszak
\(\displaystyle{ a_{i}\in(0,1)}\), więc \(\displaystyle{ a_{i}^{q}<a_{i}^{p}}\).
nierówność jest jednorodna, więc bez straty ogólności można przyjąć \(\displaystyle{ a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}=1}\).
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ LHS=1=\left(a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}\right)^{\frac{1}{p}}<\left(a_{1}^{p}+\ldots+a_{n}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\)
wszak
\(\displaystyle{ a_{i}\in(0,1)}\), więc \(\displaystyle{ a_{i}^{q}<a_{i}^{p}}\).