Przesunięte potęgi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Przesunięte potęgi

Post autor: mol_ksiazkowy »

Zbadać, czy gdy \(\displaystyle{ m>n}\) i \(\displaystyle{ x>1}\), to \(\displaystyle{ (1+x^n)^m > (1+x^m)^n}\).
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2021, o 18:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Przesunięte potęgi

Post autor: Premislav »

Tak.
Podzielmy stronami nierówność przez \(\displaystyle{ x^{nm}}\) i podstawmy \(\displaystyle{ t:=\frac{1}{x}}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), a nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Teraz jeśli \(\displaystyle{ n\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ \left(t^{n}+1\right)^{m}>\left(t^{n}+1\right)^{n}\ge\left(t^{m}+1\right)^{n}}\)
Natomiast jeżeli \(\displaystyle{ n<0}\), to dla \(\displaystyle{ m\ge 0}\) teza jest oczywista, a dla \(\displaystyle{ m<0}\)
równoważnie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left(1+t^{m}\right)^{-n}>\left(1+t^{n}\right)^{-m}\\\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-m}+1\right)^{-n}>\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{-n}+1\right)^{-m}\\\left(1+t^{-m}\right)^{-n}>\left(1+t^{-n}\right)^{-m}}\)
i mamy \(\displaystyle{ -n>-m\ge 0}\)
czyli sprowadziliśmy ten przypadek do poprzedniego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przesunięte potęgi

Post autor: a4karo »

Dodajmy do tego takie ładne twierdzenie:
Jeżli `0<p<q`, to dla dowolnych dodatnich `a_1,...,a_n` mamy
\(\displaystyle{ (a_1^q+\dots+a_n^q)^{1/q}<(a_1^p+\dots+a_n^p)^{1/p}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Przesunięte potęgi

Post autor: Premislav »

Dowód:
nierówność jest jednorodna, więc bez straty ogólności można przyjąć \(\displaystyle{ a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}=1}\).
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ LHS=1=\left(a_{1}^{q}+\ldots+a_{n}^{q}\right)^{\frac{1}{p}}<\left(a_{1}^{p}+\ldots+a_{n}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\)
wszak
\(\displaystyle{ a_{i}\in(0,1)}\), więc \(\displaystyle{ a_{i}^{q}<a_{i}^{p}}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przesunięte potęgi

Post autor: a4karo »

A najśmieszniejsze jest to, że gdy wyrazenia w nawiasach podzielić przez `n`, to nierówność się odwraca
ODPOWIEDZ