Zadania dowodowe

[Vidar]

zad1: \(\displaystyle{ 2 \cdot (a ^{4} + b ^{4} ) \ge ab(a+b) ^{2} }\)

zad2: \(\displaystyle{ a+b=1 \Rightarrow a ^{2} + b ^{2} \ge \frac{1}{2} }\)

zad3: \(\displaystyle{ a+b=1 \Rightarrow a ^{3} + b ^{3} \ge \frac{1}{4} }\)

zad4: \(\displaystyle{ a+b=1 \Rightarrow a ^{4} + b ^{4} \ge \frac{1}{8} }\)

W jaki sposób zrobić te zadania, probówalem doprowadzać je do wzorow skróconego mnożenia, ale niestety brakuje mi danych.
Dziękuje za pomysly.

[Premislav]

To nie jest zły pomysł.

1.
\(\displaystyle{ 2\left(a^{4}+b^{4}\right)-ab(a+b)^{2}\\=2a^{4}+2b^{4}-a^{3}b-2(ab)^{2}-ab^{3}\\=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b)\\=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+(a-b)^{2}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\\=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+(a-b)^{2}\left(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\right)}\)

Wskazówka do drugiego: udowodnij i wykorzystaj nierówność \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\ge \frac{1}{2}(a+b)^{2}}\)
Po prostu rozpisz prawą stronę ze wzoru na kwadrat sumy, przenieś na jedną stronę, zredukuj wyrazy podobne i zauważ wzór skróconego mnożenia.
Wskazówka do trzeciego: udowodnij i wykorzystaj nierówność \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}\ge \frac{1}{4}(a+b)^{3}}\),
zaczynając od wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów po lewej.
Wskazówka do czwartego:
skorzystaj dwukrotnie z udowodnionej przy okazji drugiego nierówności
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\ge \frac{1}{2}(a+b)^{2}}\), wszak \(\displaystyle{ a^{4}=\left(a^{2}\right)^{2}}\) etc.
Można też szybciej rozwiązać te zadania, powołując się np. na nierówność między średnią potęgową (odpowiednich rzędów) a arytmetyczną, ale to trochę przerost formy nad treścią (a, no i wtedy jeszcze trzeba zrobić jakiś komentarz z modułami, bo nigdzie nie jest powiedziane, że \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\)).

[a4karo]

Zad 2,3,4,5,6,...
Zapisz `a=1/2+x, b=1/2-x`, podnieś do odpowiednich potęg i zauważ, że nieparzyste potęgi przy `x` sie zredukują.