Równanie

[bot803]

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych dodatnich:
\(\displaystyle{ x ^{3} +y ^{3}+8=6xy}\)

[Premislav]

Mamy
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}\\=(x+y)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\\=(x+y)\left((x+y)^{2}-3xy\right)\ge xy(x+y)}\)
a zatem gdy \(\displaystyle{ x+y\ge 6}\), to
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+8>6xy}\), czyli rozwiązań wówczas nie ma. Pozostaje sprawdzić \(\displaystyle{ x+y\le 5}\), przy czym łatwo widać, że \(\displaystyle{ x,y}\) o różnej parzystości dają sprzeczność modulo \(\displaystyle{ 2}\) (lewa strona nieparzysta, prawa parzysta), więc wystarczy sprawdzić
\(\displaystyle{ x=y=1, \ x=y=2, \ x=3, y=1, \ x=1, \ y=3}\)
Po szybkim sprawdzeniu tych przypadków okazuje się, że jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ x=y=2}\).

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ x ^{3} +y ^{3}+8=3 \cdot \frac{x ^{3} +y ^{3}+2^3}{3} \ge 3\sqrt[3]{x ^{3}y ^{3}2^3} = 6xy}\)
Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x^3=y^3=2^3}\) więc jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ x=y=2}\)