Rozkład na czynniki z wyznacznika

[SemastianM]

Cześć,
mam problem mz następującym zadaniem:

Rozłóż na czynniki wyznacznik z:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a ^{3} & b^{3} & c ^{3} \\ \end{bmatrix}
\]
Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c ^{2} +bc-ab)}\).
I nie wiem co dalej. Proszę o pomoc.
W odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) ^{2} }\)

[Premislav]

Twoja postać jest niestety niepoprawna, powinno być: \(\displaystyle{ (a-b)(b-c)\left(c^{2}+bc-ab-a^{2}\right)}\) i swoją drogą to jest równe
\(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}\), a nie \(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)^{2}}\). Jeśli chodzi o samą metodę rozwiązania, ja bym zaproponował skorzystanie z tego, że dodając do którejś z kolumn macierzy kombinację liniową pozostałych kolumn nie zmieniamy wyznacznika. To pozwala np. przejść od tego wyznacznika do wyznacznika
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\a-b&b-c&c\\a^{3}-b^{3}&b^{3}-c^{3}&c^{3}\end{array}\right)}\)

Teraz stosujemy rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i dostajemy
\(\displaystyle{ (a-b)\left(b^{3}-c^{3}\right)-(b-c)\left(a^{3}-b^{3}\right)}\), używamy dwa razy wzoru na różnicę sześcianów, wyciągamy wspólne czynniki przed nawias i po herbacie.

[SemastianM]

Twoja postać jest niestety niepoprawna, powinno być: \(\displaystyle{ (a-b)(b-c)\left(c^{2}+bc-ab-a^{2}\right)}\) i swoją drogą to jest równe
\(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}\), a nie \(\displaystyle{ (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)^{2}}\). Jeśli chodzi o samą metodę rozwiązania, ja bym zaproponował skorzystanie z tego, że dodając do którejś z kolumn macierzy kombinację liniową pozostałych kolumn nie zmieniamy wyznacznika. To pozwala np. przejść od tego wyznacznika do wyznacznika
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\a-b&b-c&c\\a^{3}-b^{3}&b^{3}-c^{3}&c^{3}\end{array}\right)}\)

Teraz stosujemy rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza i dostajemy
\(\displaystyle{ (a-b)\left(b^{3}-c^{3}\right)-(b-c)\left(a^{3}-b^{3}\right)}\), używamy dwa razy wzoru na różnicę sześcianów, wyciągamy wspólne czynniki przed nawias i po herbacie.

Faktycznie, nie mam pojęcia czemu zerowałem \(\displaystyle{ a^{2} }\). Wyszło mi już elegancko tak jak podałeś bez kwadratu. No niestety czasem się trafią takie błędy w książce