Czy w ten sposób też można dowodzić?

[tomnow]

Dzień dobry,

Mam zadanie na dowodzenie, które wygląda tak:

Założenia:
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab }\)

Teza:
\(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\)

Mój sposób na zrobienie tego wyglądałby tak:
\(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\)
\(\displaystyle{ a = -3b}\)

Teraz podstawiłbym za niewiadomą \(\displaystyle{ a}\) w równaniu \(\displaystyle{ 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab }\) wyrażenie \(\displaystyle{ -3b}\) i otrzymałbym, że \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli lewa strona jest równa stronie prawej.

I teraz pytanie: Czy tak mogę dowodzić? Dowody, które widziałem działały w drugą stronę, tzn. wykorzystując równania ( najczęściej jedno ) w założeniach i przeprowadzając na nich jakieś operacje przenoszenia itd. podstawiałem odpowiednie wyrażenia, które tam wyszły ( np. \(\displaystyle{ a = 2 b}\) ) do równania z tezy i w tezie otrzymywałem "wynik", że lewa strona równa się prawej. Tutaj natomiast działam niejako na tezie i podstawiam do równania z założenia i to tam wychodzi, że lewa jest równa prawej.

[kmarciniak1]

Nie można tak robić bo w pewnym momencie zakladasz prawdziwość tezy, a ty masz ją udowodnić.

[a4karo]

Wolno, jeżeli wykonujesz przekształcenia, które są równoważne. Tutaj już na początku mnożysz przez mianownik. Czy to jest równoważne?

[tomnow]

Wolno, jeżeli wykonujesz przekształcenia, które są równoważne. Tutaj już na początku mnożysz przez mianownik. Czy to jest równoważne?

Wydaje mi się, że tak.

[a4karo]

Mylisz się

[Bran]

Mylisz się

Przy tych założeniach, które przedstawił na początku? Dlaczego?

[Jan Kraszewski]

Przy tych założeniach, które przedstawił na początku? Dlaczego?

A czy gdziekolwiek w tym rozumowaniu było uzasadnienie odwołujące się do założeń, że to przejście jest równoważne? W ogólności takie przejście nie jest równoważne, więc wykonanie go bez komentarza czyni dowód niepoprawnym.

JK

[tomnow]

Mylisz się

Czy masz na myśli to, że dla równania \(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\) zbiorem rozwiązań jest para \(\displaystyle{ (a,b) = (0,0)}\), natomiast dla
równania \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) ta para nie jest rozwiązaniem ( dzielenie przez zero )? Mamy tutaj różne zbiory rozwiązań.

Inne zadanie:

Załóżmy, że teraz mam zadanie w drugą stronę tzn. założenia to:
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 }\)
A teza to:
\(\displaystyle{ 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab}\)

W szkole ten dowód by wyglądał tak ( mam na myśli to wszystko, co pojawi się na tablicy ):
\(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 | \cdot (a+2b)}\)
\(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\)
\(\displaystyle{ 8a = -24b}\)
\(\displaystyle{ a = -3b}\)

\(\displaystyle{ Lewa Strona = 3b ^{2} }\)
\(\displaystyle{ Prawa Strona = 3a ^{2} +8ab = 27b ^{2} - 24b ^{2} = 3b ^{2} }\)
\(\displaystyle{ Lewa Strona = Prawa Strona}\)

Czy ten dowód jest poprawny? Patrząc na to, co napisałem na początku musiałbym jeszcze zrobić założenie, że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\). Wystarczy napisać to w jednym miejscu np. w pierwszej linii dowodu? Czy wtedy wszystko jest ok?

[Dasio11]

Dowód jest poprawny. Nie trzeba zakładać że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\), bo to wynika z pozostałych założeń - gdyby bowiem \(\displaystyle{ a = -2b}\), to równość \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) nie byłaby prawdziwa, ani nawet sensowna.

[a4karo]

Mylisz się

Czy masz na myśli to, że dla równania \(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\) zbiorem rozwiązań jest para \(\displaystyle{ (a,b) = (0,0)}\), natomiast dla
równania \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) ta para nie jest rozwiązaniem ( dzielenie przez zero )? Mamy tutaj różne zbiory rozwiązań.

Twoje działanie jest niepoprawnie dlatego, że zakłądasz taką rzecz: dla wszystkich `x,y,z` zachodzi ` (x=y) \Leftrightarrow (zx=zy)`. A to nie jest prawda.

Inne zadanie:

Załóżmy, że teraz mam zadanie w drugą stronę tzn. założenia to:
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 }\)
A teza to:
\(\displaystyle{ 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab}\)

W szkole ten dowód by wyglądał tak ( mam na myśli to wszystko, co pojawi się na tablicy ):
\(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 | \cdot (a+2b)}\)
\(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\)
\(\displaystyle{ 8a = -24b}\)
\(\displaystyle{ a = -3b}\)

\(\displaystyle{ Lewa Strona = 3b ^{2} }\)
\(\displaystyle{ Prawa Strona = 3a ^{2} +8ab = 27b ^{2} - 24b ^{2} = 3b ^{2} }\)
\(\displaystyle{ Lewa Strona = Prawa Strona}\)

Czy ten dowód jest poprawny? Patrząc na to, co napisałem na początku musiałbym jeszcze zrobić założenie, że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\). Wystarczy napisać to w jednym miejscu np. w pierwszej linii dowodu? Czy wtedy wszystko jest ok?

Tutaj Dasio11 napisał

Dowód jest poprawny. Nie trzeba zakładać że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\), bo to wynika z pozostałych założeń - gdyby bowiem \(\displaystyle{ a = -2b}\), to równość \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) nie byłaby prawdziwa, ani nawet sensowna.

Z tym jednak nie mogę sie zgodzić

Przypuśćmy, że założenie nie wygląda tak
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 }\)
lecz tak
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11 }\)
Mnożymy przez mianownik i po prostych przekształceniach dostajemy
\(\displaystyle{ 0=a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2}\)
Stąd `a=-3b` i sprawdzamy (tak jak to zrobiłęś poprzednio), że stąd wynika teza?

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Nie. Czy potrafisz to uzasadnić?

[Dasio11]

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Nie. Czy potrafisz to uzasadnić?

A moim zdaniem jest poprawne - zatem jeśli uważasz inaczej, wskaż błąd. ;P

[a4karo]

Wedziałem, że zareagujesz

\(\displaystyle{ \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2}=\frac{(a+3b)(3a-2b)}{(a+3b)(a+2b)}}\), więc założenia "wycinają" znalezione "rozwiązania". Ale w Twolej metodzie nigdzie tego nie sprawdzasz

[Dasio11]

Nie sprawdzam, i co? Wskaż błąd.

[a4karo]

nie ma takich `(a,b)` spełniających założenia zadania dla których zachodzi `3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab`

Dodano po 37 minutach 55 sekundach:
OK. masz rację. To, że operujemy na pustym zbiorze nie zmienia prawdziwości implikacji.

[Dasio11]

Przypomnę jeszcze anegdotę ilustrującą fakt, że na podstawie potencjalnie fałszywych założeń można prowadzić poważne (i sensowne) badania.