Czy w ten sposób też można dowodzić?

[a4karo]

CZekaj Dasio, mówimy o metodzie. No to przypuśćmy, że zadanie wygląda trochę inaczej:

Założenia:
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11}\)

Teza:
\(\displaystyle{ a^2=3b^2+ab}\)

I rozwiązujemy tak, jak w metodzie, którą sugerowałeś. Dostajemy \(\displaystyle{ a=-3b}\). Zatem
Lewa strona = `9b^2`
Prawa strona = `0`
Ponieważ `b<0` stwierdzenie nie jest prawdziwe.


W tym miejscu delikwent zakończy rozwiązywanie zadania i dostanie zasłużoną pałę.
Gdyby jednak sprawdził, że mnoży obie strony równości przez zero w pierwszym kroku rozwiązania, to by tej pały uniknął. Więc może jednak warto sprawdzać?

Ja wiem i Ty wiesz, że teraz należałoby sprawdzić czy nie zachodzi przypadkiem implikacja \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0}\), ale zadanie jest dla średniej szkoły, a tam w takie subtelności nikt się nie bawi. Dlatego zawsze gdy mnożę obie strony równości, to sprawdzam, czy nie mnożę przez zero. TEgo akurat w szkole uczą.

[tomnow]

Przede wszystkim dziękuję za udział w dyskusji. Nie rozumiem kilku rzeczy, więc zadam parę pytań:

Twoje działanie jest niepoprawnie dlatego, że zakłądasz taką rzecz: dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x=y) \Leftrightarrow (zx=zy)}\). A to nie jest prawda.

Rozumiem to tak, że jeżeli mam równanie i pomnożę obustronnie razy zero to rzeczywiście otrzymam \(\displaystyle{ 0 = 0}\), więc muszę sprawdzić, czy czasem nie mnożę razy zero. Stąd mój pomysł, abym na początku zrobił założenie, że w moim przykładzie \(\displaystyle{ a \neq -2b}\)

Teraz załóżmy, że miałbym przykład, o którym pisze a4karo:
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11}\)

Zrobiłbym tutaj założenie, że \(\displaystyle{ a \neq -3b \wedge a \neq -2b}\)
Pomnożyłbym obustronnie razy mianownik otrzymując:
\(\displaystyle{ (a+3b)(3a-2b) = 11(a+3b)(a+2b)}\)

Teraz po kilku operacjach doszedłbym do tego, że:
\(\displaystyle{ (a+3b) ^{2} = 0}\), a to może być prawda tylko, gdy \(\displaystyle{ a = -3b}\)
Ale zrobiłem założenie, że \(\displaystyle{ a \neq -3b}\), a więc nie ma takich liczb a,b, które spełniają równanie \(\displaystyle{ \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11}\), więc nawet nie muszę sprawdzać tezy, bo nie mam dla jakich wartości nawet sprawdzać. Dobrze myślę?

[a4karo]

Dobrze myślisz. Tylko musisz pamietać o jednej rzeczy. Fakt, że ma czego sprawdzać oznacza, że zdanie "Jeżeli (tu założenia) to (tu teza)" jest zdaniem prawdziwym niezależnie od tego jaką tezę postawisz.

[tomnow]

Dobrze myślisz. Tylko musisz pamietać o jednej rzeczy. Fakt, że ma czego sprawdzać oznacza, że zdanie "Jeżeli (tu założenia) to (tu teza)" jest zdaniem prawdziwym niezależnie od tego jaką tezę postawisz.

Oczywiście rozumiem, że implikacja, gdy poprzednik jest fałszem jest zawsze prawdziwa. Nie rozumiem jednak jak ma się to do tego zadania.

EDIT:
Powiedzmy, że mam taki dziwny przykład:
Założenie:
0=1
Teza:
1=1

Poprzednik jest fałszem, następnik prawdą i cała implikacja jest prawdziwa. Co to jednak tak naprawdę oznacza dla dowodów? Czy w dowodach nie powinno być tak, że z poprzednika, który zakładamy, że jest prawdziwy powinniśmy otrzymać następnik będący prawdą? A jeżeli przez przypadek wyjdzie nam, że poprzednik jest fałszem ( tak jak w tym przypadku z a = -3b ) to, czy nie powinniśmy od razu orzec, że nie da się danej rzeczy dowieść na podstawie tego założenia?

[a4karo]

Spójrz na przykład, który napisałem o 16:47. Tam masz sytuację, gdy założenie nie jest spełnione dla żadnych `a,b` ale teza nie jest prawdziwa.
Nie możesz stąd wnioskować, że twierdzenie nie jest prawdziwe, bo twierdzenie to (założenie)->(teza) - a to jest prawda.

Krótko mówiąc, jeżeli pokażesz, że teza nie zachodzi powinieneś jeszcze sprawdzić, czy są spełnione założenia żeby udowodnić fałszywość twierdzenia.


Pytasz, co to znaczy dla dowodów. W dowodzie należy sprawdzić, czy wszystkie kroki, które wykonujemy są poprawne. W tym konkretnym przypadku, gdy mnożymy obie strony równania przez mianownik powinniśmy być przekonani, że wykonujemy legalną operację, czyli mieć świadomość przy jakich założeniach wolno nam to robić.

[Dasio11]

mówimy o metodzie.

Mówimy o tym, czy poniższy dowód:

Przypuśćmy, że [...]
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11 }\)
Mnożymy przez mianownik i po prostych przekształceniach dostajemy
\(\displaystyle{ 0=a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2}\)
Stąd `a=-3b` i sprawdzamy (tak jak to zrobiłęś poprzednio), że stąd wynika teza?

jest poprawny. Ja mówię, że jest - i powtórzę: jeśli twierdzisz inaczej, wskaż które konkretnie przejście jest błędne. Jakikolwiek inny argument będzie z dużym prawdopodobieństwem od rzeczy.

Gdyby jednak sprawdził, że mnoży obie strony równości przez zero w pierwszym kroku rozwiązania, to by tej pały uniknął. Więc może jednak warto sprawdzać?

Ale przecież zasadniczy błąd w tym rozwiązaniu nie tkwi w mnożeniu przez coś, co potencjalnie jest zerem, tylko w niezrozumieniu, że aby obalić tezę ogólną należy wskazać kontrprzykład. Mnożenie obu stron równania przez zero jest całkowicie legalnym przejściem, o ile oczywiście nie próbuje się go traktować jako przejścia równoważnego.

Z tym, że jest to zupełnie inne zadanie (z uwagi na fałszywość tezy), więc nie bardzo widzę związek z dyskusją. W szczególności: z istnienia błędu w powyższym rozwiązaniu nijak nie wynika, że rozwiązanie omawiane wcześniej jest niepoprawne, bo ani między treściami zadań, ani rozwiązaniami nie ma żadnej analogii.

[Slup]

A jeżeli przez przypadek wyjdzie nam, że poprzednik jest fałszem ( tak jak w tym przypadku z a = -3b ) to, czy nie powinniśmy od razu orzec, że nie da się danej rzeczy dowieść na podstawie tego założenia?

Wręcz przeciwnie. Jeśli założenia są sprzeczne, to musimy uznać, że daną rzecz da się z nich dowieść i musimy tak stwierdzić o każdej sensownie sformułowanej tezie.

logiczne brednie:    

Precyzyjnie rzecz biorąc nie powinno się mówić o poprawnych lub niepoprawnych dowodach. Są tylko dowody i ciągi formuł, które dowodami nie są. Jeśli \(\displaystyle{ \Gamma}\) to zbiór założeń i \(\displaystyle{ A}\) to zbiór aksjomatów jakiejś ustalonej teorii matematycznej, to dowodem formuły \(\displaystyle{ \phi}\) z założeń \(\displaystyle{ \Gamma}\) nazywamy ciąg formuł
$$(D_1,D_2,...,D_n)$$
taki, że \(\displaystyle{ D_n = \phi}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ 1\leq k\leq n}\) zachodzi jedna z dwóch możliwości:
1. \(\displaystyle{ D_k \in \Gamma \cup A}\)
2. Istnieją \(\displaystyle{ i,j<k}\) takie, że \(\displaystyle{ D_j = (D_i\rightarrow D_k)}\).

Ukryta treść:    

Oczywiście powyższa formalizacja pojęcia dowodu dotyczy systemów dedukcyjnych typu Hilberta, które mają modus ponens jako jedyną regułę inferencyjną. Jak wiadomo to nie jest ograniczenie w przypadku logiki pierwszego rzędu.

Jeśli uznamy, że formuła

\(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\)

jest tak naprawdę skróconym zapisem formuły

\(\displaystyle{ 3a-2b = 11(a+2b) \wedge a+2b\neq 0}\)

to ciąg:

$$\bigg(3a-2b = 11(a+2b) \wedge a+2b\neq 0, \big(3a-2b = 11(a+2b) \wedge a+2b\neq 0\big)\rightarrow 3a-2b = 11(a+2b),3a-2b = 11(a+2b) \bigg)$$

jest dowodem formuły \(\displaystyle{ 3a-2b = 11(a+2b)}\) ze zbioru jednoelementowego formuł \(\displaystyle{ \bigg\{\frac{3a-2b}{a+2b} = 11\bigg\}}\) (środkowy człon ciągu jest podstawieniem tautologii rachunku zdań, a więc należy do zbioru aksjomatów). Można wskazać dowód (na gruncie teorii liczb rzeczywistych lub innej podobnej teorii), który jako założenie ma formułę \(\displaystyle{ 3a-2b = 11(a+2b)}\) i jako tezę ma \(\displaystyle{ a=-2b}\). Dowody są zamknięte na konkatenację. Zatem istnieje dowód, który od założenia \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) prowadzi do tezy \(\displaystyle{ a=-3b}\).

Wątpię, czy to w jakikolwiek sposób pomaga, ale w każdym razie wynika stąd, że

W szkole ten dowód by wyglądał tak ( mam na myśli to wszystko, co pojawi się na tablicy ):
\(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11 | \cdot (a+2b)}\)
\(\displaystyle{ 3a - 2b = 11a + 22 b}\)
\(\displaystyle{ 8a = -24b}\)
\(\displaystyle{ a = -3b}\)

daje się przetłumaczyć na dowód w sensie formalnym. Można więc powiedzieć (pomijając już ten cały formalny narzut wyżej), że jest to poprawny dowód.

A tak w ogóle to fuck logic!

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=mHD08tI0T30

[a4karo]

mówimy o metodzie.

Mówimy o tym, czy poniższy dowód:

Przypuśćmy, że [...]
\(\displaystyle{ a>0 \wedge b<0 \wedge \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11 }\)
Mnożymy przez mianownik i po prostych przekształceniach dostajemy
\(\displaystyle{ 0=a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2}\)
Stąd `a=-3b` i sprawdzamy (tak jak to zrobiłęś poprzednio), że stąd wynika teza?

jest poprawny. Ja mówię, że jest - i powtórzę: jeśli twierdzisz inaczej, wskaż które konkretnie przejście jest błędne. Jakikolwiek inny argument będzie z dużym prawdopodobieństwem od rzeczy.

Ale przecież już wyżej przyznałem Ci rację

Gdyby jednak sprawdził, że mnoży obie strony równości przez zero w pierwszym kroku rozwiązania, to by tej pały uniknął. Więc może jednak warto sprawdzać?

Ale przecież zasadniczy błąd w tym rozwiązaniu nie tkwi w mnożeniu przez coś, co potencjalnie jest zerem, tylko w niezrozumieniu, że aby obalić tezę ogólną należy wskazać kontrprzykład. Mnożenie obu stron równania przez zero jest całkowicie legalnym przejściem, o ile oczywiście nie próbuje się go traktować jako przejścia równoważnego.

W pełni się zgadzam, że mnożenie obu stron równości przez tę samą liczbę jest w pełni legalne. Z tym, że jeżeli tą liczbą jest zero, to na ogół skutki takiej operacji będą marne.

zgodzę się również, że wskazanie kontrprzykładu jest jedną z metod na obalenie twierdzenia (nie jedyną). Ale to stwierdzenie nic nie wnosi.
POza tym, w wielu przypadkach, aby wskazać kontrprzykład trzeba wykonać sporą ilość kroków i warto te kroku wykonywać na twardym gruncie raczej niż na równaniu pomnożonym obustronnie przez zero


Zaintrygowało mnie natomiast co innego. Napisałeś coś takiego. Napisałeś

Dowód jest poprawny. Nie trzeba zakładać że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\), bo to wynika z pozostałych założeń - gdyby bowiem \(\displaystyle{ a = -2b}\), to równość \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) nie byłaby prawdziwa, ani nawet sensowna.

Czyli dostrzegasz pożytki płynące z mnożenia przez coś, co zerem nie jest.
W mojej modyfikacji zadania pokazałem, że z faktu iż w założeniach jakieś wyrażenie występuje w mianowniku wcale nie musi oznaczać, że wyrażenie to nie jest zerowe.

Z tym, że jest to zupełnie inne zadanie (z uwagi na fałszywość tezy), więc nie bardzo widzę związek z dyskusją.

Tu będę się wymagał wyjaśnień: co to znaczy, że teza jest nieprawdziwa? W pierwszym przypadku teza to `3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab`, w drugim to `a^2=3b^2+ab`. Same w sobie nie mają żadnej wartości logicznej. Dostaną ją, gdy podstawimy za `a` i `b` konkretne wartości. Chyba, że myślisz o jakiejś innej tezie? Jeżeli to wyjaśnisz, to napiszę więcej.

[krl]

Ten wpis to dygresja. Dyskusja w tym wątku stała się zawikłana. A ja chciałbym wrócić do początku, gdzie tomnow (autor wątku) proponuje pewien "dowód" i pyta się, czy on jest poprawny. Niezależnie od dyskusji, czy tenże dowód jest poprawny lokalnie (tzm. czy pewne przejście ma charakter równoważności i czy jest logicznie poprawne) zasadnicza rzecz jest taka, że ogólna struktura dowodu jest do bani. tomnow zakłada tam tezę, przekształca ją i sprawdza, czy w przypadku, gdy teza jest prawdziwa, założenie zachodzi. Tego typu argumentacja jest kompletnie bez sensu (i niektórzy już to wskazali, wiem, ale ja chciałbym to jeszcze raz podkreślić).
Nie wiem, po co tomnow zaczął ten wątek. Pojawiają się tu odniesienia do szkoły, co powinno znaleźć się na tablicy. Podejrzewam, że może to być przypadek korepetytora, który stara się nauczyć dzieci poprawnego sposobu rozwiązywania "zadań na dowodzenie", przy czym przez "poprawność" rozumie się tu taki sposób rozwiązywania, który będzie zaakceptowany przez nauczyciela. Dostrzegam tu więc wizję tego, jak wygląda w szkole przedstawianie matematycznego rozumowania. Ta wizja jest bardzo smutna. Rozumowanie sprowadza się tu do zapisywania w kolejnych wierszach ciągów znaczków poprzez ich formalne przekształcanie. Hilbert byłby dumny! Tylko co z tego rozumieją dzieci? Ano często uczą się twierdzeń i takich dowodów na pamięć, jak wierszyków. Bo nic nie rozumieją, i słusznie. Matematyka to nie czcza zabawa ze znaczkami, kluczowe jest tu ich znaczenie. Nauczyciel czy korepetytor który uczy dzieci żonglerki ze znaczkami zamiast matematyki wyrządza szkodę.

[Dasio11]

Z tym, że jest to zupełnie inne zadanie (z uwagi na fałszywość tezy), więc nie bardzo widzę związek z dyskusją.

Tu będę się wymagał wyjaśnień: co to znaczy, że teza jest nieprawdziwa?

Miałem na myśli tezę globalną zadania, czyli implikację: dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a > 0, b < 0}\) z równości \(\displaystyle{ \frac{3a^2+7ab-6b^2}{a^2+5ab+6b^2} = 11}\) wynika równość \(\displaystyle{ a^2 = 3b^2 + ab}\).

Z tym, że z powyższego cytatu się akurat wycofuję. Gdy pisałem, że aby obalić tezę autor powinien wskazać kontrprzykład, to zaczęło mi się wydawać, że implikacja faktycznie jest fałszywa, a tylko dowód jej fałszywości jest niepoprawny. Jednak implikacja jest oczywiście w pusty sposób prawdziwa, więc poprawiam swoje stanowisko: zadanie jest podobne i potencjalnie związane z dyskusją, ale nadal błąd w rozwiązaniu nie bierze się z mnożenia przez zero, tylko z niewiedzy iż na ogół aby obalić twierdzenie ogólne (co próbowano uczynić) należy wskazać kontrprzykład.

W pełni się zgadzam, że mnożenie obu stron równości przez tę samą liczbę jest w pełni legalne. Z tym, że jeżeli tą liczbą jest zero, to na ogół skutki takiej operacji będą marne.

W jakim sensie "marne"? Poprawność takiego przejścia oznacza przede wszystkim to, że mnożąc prawdziwą równość przez niewiadomą nie trzeba się specjalnie przejmować, czy ta niewiadoma może okazać się zerem. Czy zaś ta operacja jest przydatna, to już zależy od zadania - czasem jest, czasem nie.

POza tym, w wielu przypadkach, aby wskazać kontrprzykład trzeba wykonać sporą ilość kroków i warto te kroku wykonywać na twardym gruncie raczej niż na równaniu pomnożonym obustronnie przez zero

Ok, to wyjaśnij jeszcze gdzie w tym wątku widzisz sugestię, aby konstruować kontrprzykład w oparciu o mnożenie przez zero. :]

Dowód jest poprawny. Nie trzeba zakładać że \(\displaystyle{ a \neq -2b}\), bo to wynika z pozostałych założeń - gdyby bowiem \(\displaystyle{ a = -2b}\), to równość \(\displaystyle{ \frac{3a-2b}{a+2b} = 11}\) nie byłaby prawdziwa, ani nawet sensowna.

Czyli dostrzegasz pożytki płynące z mnożenia przez coś, co zerem nie jest.

Tym razem już naprawdę nie widzę ani związku powyższej konkluzji z poprzedzającym ją cytatem, ani z obecnym wątkiem. Niemniej potwierdzam: mnożenie równania przez niezerową liczbę bywa przydatne. ;P

W mojej modyfikacji zadania pokazałem, że z faktu iż w założeniach jakieś wyrażenie występuje w mianowniku wcale nie musi oznaczać, że wyrażenie to nie jest zerowe.

Mylą Ci się dwie rzeczy. Po pierwsze: z takich założeń zawsze wynika, że wyrażenie musi być niezerowe. Po drugie: w przypadku Twojej modyfikacji z założeń dodatkowo wynika, że wyrażenie musi być zerowe. A zatem: założenia są sprzeczne, bo wynika z nich, że wyrażenie jest zerem i jednocześnie nim nie jest.

[a4karo]

Mylą Ci się dwie rzeczy. Po pierwsze: z takich założeń zawsze wynika, że wyrażenie musi być niezerowe. Po drugie: w przypadku Twojej modyfikacji z założeń dodatkowo wynika, że wyrażenie musi być zerowe. A zatem: założenia są sprzeczne, bo wynika z nich, że wyrażenie jest zerem i jednocześnie nim nie jest.

No właśnie: mi się te dwie rzeczy nie mylą, bo już we wczesnej fazie dowodu wykryłem tę sprzeczność, co doprowadziło mnie natychmiast do konkluzji o prawdziwości twierdzenia. Sam przyznasz, że Tobie zajęło to dużo więcej czasu. Moim zdaniem przyczyną takiego stanu rzeczy jest to, że nie sprawdziłeś dzielenia przez zero

Myślę, że to dobre miejsce do zakończenia tej interesującej dyskusji.
Pozdrawiam

[tomnow]

Poczułem się dość mocno zaatakowany... Warto więc wyjaśnić kilka rzeczy

Nie wiem, po co tomnow zaczął ten wątek.

Może dlatego, że nie wiedziałem, czy mój sposób rozumowania jest poprawny i chciałem, aby ktoś go ocenił, bądź też wskazał błąd? Wydaje mi się, że jednym z głównych celów tego forum jest właśnie ta funkcja.

Podejrzewam, że może to być przypadek korepetytora, który stara się nauczyć dzieci poprawnego sposobu rozwiązywania "zadań na dowodzenie", przy czym przez "poprawność" rozumie się tu taki sposób rozwiązywania, który będzie zaakceptowany przez nauczyciela.

Wydaje mi się, że to nie ma kompletnie znaczenia, czy jestem nauczycielem, korepetytorem, uczniem szkoły średniej, studentem, czy samoukiem. Czy to coś zmienia?

Mógłbym na tym zakończyć, ale wyjaśnię może kwestie, które tak Cię krl interesują. Ukończyłem studia, na których miałem matematykę, jednak była tam głównie analiza matematyczna ( granice, pochodne, całki ) oraz algebra liniowa ( macierze ). Nie przerabiałem tam tematów związanych z logiką matematyczną. Lubię jednak od czasu do czasu dowiedzieć się czegoś nowego. W weekend w polecanych na youtube wyświetlił mi się filmik związany z dowodzeniem twierdzeń. Przeczytałem treść zadania, wymyśliłem swój dowód ( który tutaj przedstawiłem ), następnie prześledziłem rozwiązanie, które było inne niż to moje. Wszedłem na to forum, znalazłem odpowiedni dział ( jest to zadanie na poziomie szkoły średniej, dlatego pojawiło się ono tutaj ) i zapytałem.

Nie wiem teraz, czy powinienem przeprosić za to, że zadałem pytanie... Z pewnością lepiej nie zapytać i całe życie udawać, że wszystko rozumiem.

[krl]

@tomnow: To ja powinienem przeprosić. Nie chciałem Cię urazić. Za daleko zabrnąłem w spekulacjach. Masz rację, to forum jest po to, by pytać.

[a4karo]

Myślę, że warto pokazać tu rozwiązanie, które pozwoli uniknąć tych rozterek:
\(\displaystyle{ 0=3b^2-8ab-3a^2=a^2\left(3\left(\frac{b}{a}\right)^2-8\frac{b}{a}-3\right)=a^2\left(\frac{b}{a}-3\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{1}{3}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 0=\frac{3a-2b}{a+2b}-11=-8\frac{a+3b}{a+2b}=-24\frac{\frac{a}{3}+b}{a+2b}=-24\frac{\frac{b}{a}+\frac{1}{3}}{1+2\frac{b}{a}}}\)
skąd od razu widać, że w założeniach zadania oba równania mają to samo rozwiązanie.