Pomysl na rozwiazanie

[MatU3x]

Hej, zwracam się do Was z prośbą o wskazówki jak rozwiązać to zadanie:
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{9+4 \sqrt{5} }+\sqrt[3]{9-4 \sqrt{5} } }\) jest liczbą pierwszą.
Pierwszym moim pomysłem było podniesienie obu stron do potęgi 3. Jednak wynik wychodzi błędny. Widzę także dużą zbieżność do wzorów skróconego mnożenia ale nie mam bladego jak je wykorzystać, bo jak uzywam wzoru skroconego mnozenia na sume szescianow to wychodzą mi tak duże liczby że raczej robię coś źle. Nie proszę o rozwiązanie a wskazówki.
Dziękuje

[a4karo]

Wsk: `9+4\sqrt5=(3/2+\sqrt5/2)^3`

[Janusz Tracz]

Podniesienie do \(\displaystyle{ 3}\) potęgi wszystkiego to też pomysł. Jeśli \(\displaystyle{ \blue{x=\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}}\) to:

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)^{2}} \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+3 \sqrt[3]{a-\sqrt{5} b} \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right)^{2}} +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)^{2}\left(a+\sqrt{5} b\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right)^{2} \left(a-\sqrt{5} b\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)\left(a^2-5 b^2\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right) \left(a^2-5 b^2\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)\left(a^2-5 b^2\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right) \left(a^2-5 b^2\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}\left( \blue{\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}\right)+2a }\)

\(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\)

Teraz kładziemy \(\displaystyle{ a=9}\) oraz \(\displaystyle{ b=4}\) i szukamy rozwiązaia równania wielomianowego. Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest faktycznie pierwsze to równanie to ma w szczególności pierwiastek wymierny będący dzielnikiem \(\displaystyle{ 2a=2 \cdot 3^2}\). Więc i kandydatów na rozwiązanie udało się zawęzić. Można zatem ogólnie napisać zasadę rozwiązywania tego typu zadań. Jeśli \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\). Oczywiście nie można wnioskować w drugą stronę bezpośrednio. Bo ten wielomian może mieć jeszcze inne pierwiastki. Ale jeśli pokażemy, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma lub na pewno nie są równe naszemu \(\displaystyle{ x}\) to sprawa jest już jasna.

Pierwiastki \(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\) można też napisać jawnie:

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

\(\displaystyle{ x=-\frac{1 }{2}\left(1-i \sqrt{3}\right)\sqrt[3]{ a-\sqrt{5} b}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

\(\displaystyle{ x=-\frac{1 }{2}\left(1+i \sqrt{3}\right)\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}-\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

widać więc, że o ile nie zadzieje się nic złego to zwykle wielomian ten będzie miał dwa pierwiastki zespolone i jeden rzeczywisty którego właśnie szukamy. Może wygląda to zniechęcająco ale tak właściwie to nie jest takie złe w obliczeniach. Wskazówka a4karo wygląda kusząco ale wpadnięcie na nią też niekoniecznie jest banalne.

[MatU3x]

Wsk: `9+4\sqrt5=(3/2+\sqrt5/2)^3`

Dziękuję, jednak nie rozumiem skąd taka zależność wynika?

Dodano po 3 minutach 1 sekundzie:

Podniesienie do \(\displaystyle{ 3}\) potęgi wszystkiego to też pomysł. Jeśli \(\displaystyle{ \blue{x=\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}}\) to:

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)^{2}} \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+3 \sqrt[3]{a-\sqrt{5} b} \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right)^{2}} +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)^{2}\left(a+\sqrt{5} b\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right)^{2} \left(a-\sqrt{5} b\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)\left(a^2-5 b^2\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right) \left(a^2-5 b^2\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{\left(a-\sqrt{5} b\right)\left(a^2-5 b^2\right) } +3 \sqrt[3]{\left(a+\sqrt{5} b\right) \left(a^2-5 b^2\right) } +2 a}\)

\(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}\left( \blue{\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}\right)+2a }\)

\(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\)

Teraz kładziemy \(\displaystyle{ a=9}\) oraz \(\displaystyle{ b=4}\) i szukamy rozwiązaia równania wielomianowego. Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest faktycznie pierwsze to równanie to ma w szczególności pierwiastek wymierny będący dzielnikiem \(\displaystyle{ 2a=2 \cdot 3^2}\). Więc i kandydatów na rozwiązanie udało się zawęzić. Można zatem ogólnie napisać zasadę rozwiązywania tego typu zadań. Jeśli \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\). Oczywiście nie można wnioskować w drugą stronę bezpośrednio. Bo ten wielomian może mieć jeszcze inne pierwiastki. Ale jeśli pokażemy, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma lub na pewno nie są równe naszemu \(\displaystyle{ x}\) to sprawa jest już jasna.

Pierwiastki \(\displaystyle{ x^3=3\sqrt[3]{a^2-5 b^2}x+2a }\) można też napisać jawnie:

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

\(\displaystyle{ x=-\frac{1 }{2}\left(1-i \sqrt{3}\right)\sqrt[3]{ a-\sqrt{5} b}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

\(\displaystyle{ x=-\frac{1 }{2}\left(1+i \sqrt{3}\right)\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}-\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}}\)

widać więc, że o ile nie zadzieje się nic złego to zwykle wielomian ten będzie miał dwa pierwiastki zespolone i jeden rzeczywisty którego właśnie szukamy. Może wygląda to zniechęcająco ale tak właściwie to nie jest takie złe w obliczeniach. Wskazówka a4karo wygląda kusząco ale wpadnięcie na nią też niekoniecznie jest banalne.

Dziękuję, mam pytanie szczególnie co do początku, nie rozumiem dlaczego zamieniłeś liczby na a, b oraz wrzuciłeś b pod pierwiastek. Niestety przy potędzę 3 stopnia w pierwszej linijce pogubiłem się skąd to 2a na końcu.

[piasek101]

Pomysł @a4karo jest klasyczny - wiemy z treści zadania, że wynikiem jest liczba pierwsza, zatem pierwiastki mają zniknąć.

Korzystamy (tu) z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3}=a}\).

Tu (i wielu innych miejscach) można popatrzeć :
Równość z pierwiaskami sześciennymi

[edit]
Obliczanie pierwiastka pod pierwiastkiem (skrócone mnożenie)

[Janusz Tracz]

nie rozumiem dlaczego zamieniłeś liczby na a, b

Bo mogę. A co ważniejsze bo jest to ogólniejsze i pokazuje, że dla wszystkich liczb postaci \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a+\sqrt{5} b}+\sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}}\) omawiany wielomian jest dobry.

wrzuciłeś b pod pierwiastek

Nie wrzuciłem.

Niestety przy potędzę 3 stopnia w pierwszej linijce pogubiłem się skąd to 2a na końcu.

Trzeba na spokojnie policzyć. W pewnym monecie po zastosowaniu wzory skróconego mnożenia pojawi się \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{a+\sqrt{5} b} \right)^3+...+\left( \sqrt[3]{a-\sqrt{5} b}\right)^3 }\) co daje potem \(\displaystyle{ 2a}\). To tylko obliczenia które można prześledzić. Tak naprawdę najbardziej intersujące jest to, że szukana liczb to pierwiastek rzeczywisty wielomianu.


PS dodam jeszcze, że postawiłem jedną tezę zbyt szybko. Szukanie wśród dzielników \(\displaystyle{ 2a}\) ma sens, gdy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^2-5 b^2}\in\ZZ}\). Ale, że tu działa inżyniera odwrotna trochę bo wiemy co chcemy udowodnić...

Dodano po 1 godzinie 5 minutach 4 sekundach:
Można nawet jeszcze ogólniej. Niech \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{a+b \sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b \sqrt{c}}}\) wtedy:

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{a^2-cb^2 } \left(\sqrt[3]{a+b \sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b \sqrt{c}}\right)+2 a}\)

Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem wielomianu:

\(\displaystyle{ x^3=3 \sqrt[3]{a^2-cb^2 }x+2a}\)

Ten wzór można nawet zapamiętać bo takie zadania stosunkowo często się pojawiają. Więc to taki gotowany przepis na rozwiązanie praktycznie każdego przypadku.

[a4karo]

Wsk: `9+4\sqrt5=(3/2+\sqrt5/2)^3`

Dziękuję, jednak nie rozumiem skąd taka zależność wynika?

Ja też nie, ale to zgadłem