Na czym polega pierwiastkowanie
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Ta ta Pan jest skromny.
Co do przykładu z mnożeniem to to nie jest oczywiste, bo nie znamy tych liczb niewymiernych.
Z tymi granicami chodziło mi o to, że skoro to ułamek nieskończony, to aż się prosi o policzenie jego granicy.
Co do przykładu z mnożeniem to to nie jest oczywiste, bo nie znamy tych liczb niewymiernych.
Z tymi granicami chodziło mi o to, że skoro to ułamek nieskończony, to aż się prosi o policzenie jego granicy.
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
A mi na studiach mówiono, że kalkulator rozwija pierwiastek w szereg Taylora, tak jak jest podane. W dalszej części tekstu podany jest przykład z liczbą Eulera, w którym po obliczeniu pierwszych 8 wyrazów uzyskuje się błąd przybliżenia 0,001%.
Na przykład rozwinięcie w szereg wokół \(\displaystyle{ x=1}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} }\) daje następujące przybliżenie:
Np. \(\displaystyle{ f(2) = 1,40993}\)
\(\displaystyle{ 1/f(1/3) = 1,73137}\)
Kod: Zaznacz cały
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Supplemental_Modules_%28Analysis%29/Series_and_Expansions/Taylor_Expansion_II
Na przykład rozwinięcie w szereg wokół \(\displaystyle{ x=1}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} }\) daje następujące przybliżenie:
\(\displaystyle{ f(x) \approx 1+\frac{a-1}{2}-\frac{1}{8}
(a-1)^2+\frac{1}{16}
(a-1)^3-\frac{5}{128}
(a-1)^4+\frac{7}{256}
(a-1)^5-\frac{21
(a-1)^6}{1024}+\frac{33
(a-1)^7}{2048}-\frac{429
(a-1)^8}{32768}+\frac{715
(a-1)^9}{65536}-\frac{2431
(a-1)^{10}}{262144}+O\left(
(a-1)^{11}\right)}\)
Daje to możliwość obliczania pierwiastków z liczb \(\displaystyle{ \left[ 0;\ 2\right] }\) oraz odwrotności pierwiastków z odwrotności większych liczb.(a-1)^2+\frac{1}{16}
(a-1)^3-\frac{5}{128}
(a-1)^4+\frac{7}{256}
(a-1)^5-\frac{21
(a-1)^6}{1024}+\frac{33
(a-1)^7}{2048}-\frac{429
(a-1)^8}{32768}+\frac{715
(a-1)^9}{65536}-\frac{2431
(a-1)^{10}}{262144}+O\left(
(a-1)^{11}\right)}\)
Np. \(\displaystyle{ f(2) = 1,40993}\)
\(\displaystyle{ 1/f(1/3) = 1,73137}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
A mogłabyś, tak z ciekawości, pomnożyć to dla nas `\pi\times e`?Niepokonana pisze: ↑12 gru 2020, o 19:36 Dzień dobry
Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje. No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie? Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania? Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik? Wydaje mi się to mało efektywne. Jednakże każdy kalkulator umie pierwiastkować, jakoby było to oczywiste. Według mnie jest to co najmniej dziwne.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Aaa dobra, szereg, nie wiem, co to jest, ale dzięki, nie wiedziałam, że kalkulatory są aż tak mądre.
Ale że wektorowo mam to przemnożyć? XD Nie wiem, jakie są zwroty i kierunki tych liczb, także nie umiem.
A tak na poważnie to chodziło mi o to, że wiemy na czym polegają i czym skutkują te podstawowe działania. Niech zgadnę. Zaraz mi udowodnisz, że wcale nie wiem, na czym polegają.
Ale że wektorowo mam to przemnożyć? XD Nie wiem, jakie są zwroty i kierunki tych liczb, także nie umiem.
A tak na poważnie to chodziło mi o to, że wiemy na czym polegają i czym skutkują te podstawowe działania. Niech zgadnę. Zaraz mi udowodnisz, że wcale nie wiem, na czym polegają.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Nie wiedziałem, że klucz francuski jest taki silny. Przeciez potrafi odkręcić nakrętkę, z którą nie poradził sobie hydraulikNiepokonana pisze: ↑15 gru 2020, o 12:33 Aaa dobra, szereg, nie wiem, co to jest, ale dzięki, nie wiedziałam, że kalkulatory są aż tak mądre.
Nie wiem czy to na poważnie, czy robisz sobie jaja
Ale że wektorowo mam to przemnożyć? XD Nie wiem, jakie są zwroty i kierunki tych liczb, także nie umiem.
No to skoro wiesz, to wiesz rónież, że pierwiastkowanie polega na znalezieniu takiej liczby, której kwadrat jest daną liczbą.
A tak na poważnie to chodziło mi o to, że wiemy na czym polegają i czym skutkują te podstawowe działania. Niech zgadnę. Zaraz mi udowodnisz, że wcale nie wiem, na czym polegają.
Jeżeli pragniesz wiedzieć jaki długi jest odcinek o długości `\sqrt2`, to narysuj kwadrat o boku `1` i zmierz długość jego przekątnej. Im dokładniej narysujesz kwadrat i im precyzyjniejszą linijkę weżmiesz, tym leprze przybliżenie dostaniesz.
Jeżeli fascynuje cięodpowiedź na pytanie o `10^{10^10}` cyfr w rozwinięciu `\sqrt 2`, to odpowiedź brzmi: nie ma na świecie tylu dysków komputerowych, żeby te cyfry zapisać..
Z liczbami w ogóle jest fajnie. Sądzisz, że wiesz ile to jest `1`? Ile razy w życiu kupiłaś `1` kilogram cukru? Odpowiem: ani razu. Zgadnij dlaczego?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Robię sobie jaja, bo ja z fizyki wiem tyle, że jak jest \(\displaystyle{ x}\) to jest iloczyn wektorowy. Myślałam, że to dość oczywisty żart, ale ok.
No tak, to wiem, ale jedyne, co samodzielnie wywnioskowałam to to, że można bawić się w szukanie granic, ale potem pomyślałam, że to za żmudne. Dlatego zapytałam na forum o lepsze sposoby i się dowiedziałam. Trochę zrozumiałam, trochę nie, ale mogę sobie resztę wyguglować.
Mam pytanie. Z tego, co wiem to \(\displaystyle{ 10{^{10^{10}}}}\) to \(\displaystyle{ 10^{100}}\) czyli jedynka i sto zer. Czy to naprawdę tak dużo? Wiem, głupie pytanie, ale skoro już rozmawiamy.
No tak, to wiem, ale jedyne, co samodzielnie wywnioskowałam to to, że można bawić się w szukanie granic, ale potem pomyślałam, że to za żmudne. Dlatego zapytałam na forum o lepsze sposoby i się dowiedziałam. Trochę zrozumiałam, trochę nie, ale mogę sobie resztę wyguglować.
Mam pytanie. Z tego, co wiem to \(\displaystyle{ 10{^{10^{10}}}}\) to \(\displaystyle{ 10^{100}}\) czyli jedynka i sto zer. Czy to naprawdę tak dużo? Wiem, głupie pytanie, ale skoro już rozmawiamy.
Ostatnio zmieniony 15 gru 2020, o 16:06 przez Anonymous, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa na prośbę użytkowniczki.
Powód: Poprawa na prośbę użytkowniczki.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Czyli tak: chcesz wyliczyć `\sqrt2`, więc bierzesz bierzesz jakiś ciag, kóry jest do tej liczby zbieżny i szukasz jego granicy. Zgadnij czym będzie ta granica ?Niepokonana pisze: ↑15 gru 2020, o 15:13
No tak, to wiem, ale jedyne, co samodzielnie wywnioskowałam to to, że można bawić się w szukanie granic, ale potem pomyślałam, że to za żmudne. Dlatego zapytałam na forum o lepsze sposoby i się dowiedziałam. Trochę zrozumiałam, trochę nie, ale mogę sobie resztę wyguglować.
\(\displaystyle{ 10^{10000000000}=10^{10^{10}}\neq \left(10^{10}\right)^{10}=10^{100}}\)
Mam pytanie. Z tego, co wiem to \(\displaystyle{ 10^{10^{10}}}\) to \(\displaystyle{ 10^{100}}\) czyli jedynka i sto zer. Czy to naprawdę tak dużo? Wiem, głupie pytanie, ale skoro już rozmawiamy.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Ja wcale nie muszę zgadywać, bo mam taką mądrą książkę, w której jest to napisane, może nie pamiętam dokładnie, ale mogę wstać po nią i przeczytać.
No bo jest sobie ciąg przybliżeń pierwiastka z dwóch i z każdym kolejnym wyrazem się zbliżamy do dokładnego rozwinięcia tego pierwiastka.
A dobra, bo to jest potęga potęgi. Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
No bo jest sobie ciąg przybliżeń pierwiastka z dwóch i z każdym kolejnym wyrazem się zbliżamy do dokładnego rozwinięcia tego pierwiastka.
A dobra, bo to jest potęga potęgi. Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Myślę, że to jest kluczowe stwierdzenie. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) jest bytem idealnym, którego wystarczającym opisem jest definicja, która mówi, że jest to liczba, która podniesiona do kwadratu daje dwa. A jeżeli chcesz w przybliżeniu wiedzieć, ile ta liczba wynosi, to powinnaś zacząć od pytania, jak dokładne przybliżenie jest Ci potrzebne.Niepokonana pisze: ↑15 gru 2020, o 15:50Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
JK
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Podobno z tego powodu upadła szkoła pitagorejska. Pitagorejczykom marzyło się wyrazić wszystko w postaci proporcji, a dokładniej, wydawało im się, że wszystkie odcinki są współmierne, czyli mają wspólną miarę. Odcinki o danych długościach \(a,b\) są współmierne, gay odłożymy je całkowitą liczbę razy w pewnym dłuższym odcinku, czyli jeśli \(ma=nb\) dla pewnych \(m,n\in\NN\), a co za tym idzie, \(\frac{a}{b}=\frac{n}{m}\in\QQ.\) Odkrycie, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem było wielkim zdziwieniem. W ten sposób odkryto liczby niewymierne.Jan Kraszewski pisze: ↑15 gru 2020, o 18:21Myślę, że to jest kluczowe stwierdzenie. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) jest bytem idealnym, którego wystarczającym opisem jest definicja, która mówi, że jest to liczba, która podniesiona do kwadratu daje dwa. A jeżeli chcesz w przybliżeniu wiedzieć, ile ta liczba wynosi, to powinnaś zacząć od pytania, jak dokładne przybliżenie jest Ci potrzebne.Niepokonana pisze: ↑15 gru 2020, o 15:50Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
JK
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Kalkulator ma ten wielomian wpisany do pamięci, podstawia tylko liczbę. Kilkanaście mnożeń i dodawań, to wszystko.
- mdd
- Użytkownik
- Posty: 1897
- Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 512 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Odkopane: [Metody numeryczne] Obliczanie wartości funkcji elementarnyc
Cytat z powyższego:
Cytat z powyższego:
Cytat z powyższego:
Teachers of trigonometry and calculus thus may be surprised to learn what really happens when they ask their calculators to find square roots, cosines, and logarithms. It is hoped that this paper will help dispel a myth - that the calculus of infnite power series is at work - and that it will instead rekindle interest in the mathematics that lies at the heart of the versatile CORDIC algorithm - namely, trigonometric addition formulas and hyperbolic functions.
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
Cytat z powyższego:
CORDIC and closely related methods known as pseudo-multiplication and pseudo-division or factor combining are commonly used when no hardware multiplier is available (e.g. in simple microcontrollers and FPGAs), as the only operations it requires are additions, subtractions, bitshift and lookup tables.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Looknijcie tu: (Как вычислять корни без калькулятора ЕГЭ Математика 2018)
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=NFnwR6VTPgQ
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Fantastyczne metody wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych, które są kwadratami:Dilectus pisze: ↑30 gru 2020, o 14:11 Looknijcie tu:(Как вычислять корни без калькулятора ЕГЭ Математика 2018)Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=NFnwR6VTPgQ
1) Rozłóż na iloczyn kwadratów
2) Zgadnij przybliżenie i popatrz na ostatnią cyfrę, żeby odgadnąc dokładną wartość.
Szkoda, że chłopakowi nikt nie powiedział, że nie wszystkie liczby sa takie fajne
Ostatnio zmieniony 30 gru 2020, o 18:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Na czym polega pierwiastkowanie
Jak byłem w liceum (wczesne lata siedemdziesiąte), to na kółku matematycznym profesor uczył pisemnego obliczania pierwiastków dowolnej liczby naturalnej, ale było to tak dawno, że nie pamiętam.