Na czym polega pierwiastkowanie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Ta ta Pan jest skromny.
Co do przykładu z mnożeniem to to nie jest oczywiste, bo nie znamy tych liczb niewymiernych.
Z tymi granicami chodziło mi o to, że skoro to ułamek nieskończony, to aż się prosi o policzenie jego granicy.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: vpprof »

A mi na studiach mówiono, że kalkulator rozwija pierwiastek w szereg Taylora, tak jak

Kod: Zaznacz cały

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Supplemental_Modules_%28Analysis%29/Series_and_Expansions/Taylor_Expansion_II
jest podane. W dalszej części tekstu podany jest przykład z liczbą Eulera, w którym po obliczeniu pierwszych 8 wyrazów uzyskuje się błąd przybliżenia 0,001%.

Na przykład rozwinięcie w szereg wokół \(\displaystyle{ x=1}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} }\) daje następujące przybliżenie:
\(\displaystyle{ f(x) \approx 1+\frac{a-1}{2}-\frac{1}{8}
(a-1)^2+\frac{1}{16}
(a-1)^3-\frac{5}{128}
(a-1)^4+\frac{7}{256}
(a-1)^5-\frac{21
(a-1)^6}{1024}+\frac{33
(a-1)^7}{2048}-\frac{429
(a-1)^8}{32768}+\frac{715
(a-1)^9}{65536}-\frac{2431
(a-1)^{10}}{262144}+O\left(
(a-1)^{11}\right)}\)
Daje to możliwość obliczania pierwiastków z liczb \(\displaystyle{ \left[ 0;\ 2\right] }\) oraz odwrotności pierwiastków z odwrotności większych liczb.
Np. \(\displaystyle{ f(2) = 1,40993}\)
\(\displaystyle{ 1/f(1/3) = 1,73137}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: a4karo »

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36 Dzień dobry
Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje. No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie? Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania? Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik? Wydaje mi się to mało efektywne. Jednakże każdy kalkulator umie pierwiastkować, jakoby było to oczywiste. Według mnie jest to co najmniej dziwne.
A mogłabyś, tak z ciekawości, pomnożyć to dla nas `\pi\times e`?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Aaa dobra, szereg, nie wiem, co to jest, ale dzięki, nie wiedziałam, że kalkulatory są aż tak mądre.

Ale że wektorowo mam to przemnożyć? XD Nie wiem, jakie są zwroty i kierunki tych liczb, także nie umiem.

A tak na poważnie to chodziło mi o to, że wiemy na czym polegają i czym skutkują te podstawowe działania. Niech zgadnę. Zaraz mi udowodnisz, że wcale nie wiem, na czym polegają.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: a4karo »

Niepokonana pisze: 15 gru 2020, o 12:33 Aaa dobra, szereg, nie wiem, co to jest, ale dzięki, nie wiedziałam, że kalkulatory są aż tak mądre.
Nie wiedziałem, że klucz francuski jest taki silny. Przeciez potrafi odkręcić nakrętkę, z którą nie poradził sobie hydraulik

Ale że wektorowo mam to przemnożyć? XD Nie wiem, jakie są zwroty i kierunki tych liczb, także nie umiem.
Nie wiem czy to na poważnie, czy robisz sobie jaja

A tak na poważnie to chodziło mi o to, że wiemy na czym polegają i czym skutkują te podstawowe działania. Niech zgadnę. Zaraz mi udowodnisz, że wcale nie wiem, na czym polegają.
No to skoro wiesz, to wiesz rónież, że pierwiastkowanie polega na znalezieniu takiej liczby, której kwadrat jest daną liczbą.

Jeżeli pragniesz wiedzieć jaki długi jest odcinek o długości `\sqrt2`, to narysuj kwadrat o boku `1` i zmierz długość jego przekątnej. Im dokładniej narysujesz kwadrat i im precyzyjniejszą linijkę weżmiesz, tym leprze przybliżenie dostaniesz.

Jeżeli fascynuje cięodpowiedź na pytanie o `10^{10^10}` cyfr w rozwinięciu `\sqrt 2`, to odpowiedź brzmi: nie ma na świecie tylu dysków komputerowych, żeby te cyfry zapisać..


Z liczbami w ogóle jest fajnie. Sądzisz, że wiesz ile to jest `1`? Ile razy w życiu kupiłaś `1` kilogram cukru? Odpowiem: ani razu. Zgadnij dlaczego?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Robię sobie jaja, bo ja z fizyki wiem tyle, że jak jest \(\displaystyle{ x}\) to jest iloczyn wektorowy. Myślałam, że to dość oczywisty żart, ale ok.

No tak, to wiem, ale jedyne, co samodzielnie wywnioskowałam to to, że można bawić się w szukanie granic, ale potem pomyślałam, że to za żmudne. Dlatego zapytałam na forum o lepsze sposoby i się dowiedziałam. Trochę zrozumiałam, trochę nie, ale mogę sobie resztę wyguglować.

Mam pytanie. Z tego, co wiem to \(\displaystyle{ 10{^{10^{10}}}}\) to \(\displaystyle{ 10^{100}}\) czyli jedynka i sto zer. Czy to naprawdę tak dużo? Wiem, głupie pytanie, ale skoro już rozmawiamy.
Ostatnio zmieniony 15 gru 2020, o 16:06 przez Anonymous, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa na prośbę użytkowniczki.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: a4karo »

Niepokonana pisze: 15 gru 2020, o 15:13

No tak, to wiem, ale jedyne, co samodzielnie wywnioskowałam to to, że można bawić się w szukanie granic, ale potem pomyślałam, że to za żmudne. Dlatego zapytałam na forum o lepsze sposoby i się dowiedziałam. Trochę zrozumiałam, trochę nie, ale mogę sobie resztę wyguglować.
Czyli tak: chcesz wyliczyć `\sqrt2`, więc bierzesz bierzesz jakiś ciag, kóry jest do tej liczby zbieżny i szukasz jego granicy. Zgadnij czym będzie ta granica 8-) ?

Mam pytanie. Z tego, co wiem to \(\displaystyle{ 10^{10^{10}}}\) to \(\displaystyle{ 10^{100}}\) czyli jedynka i sto zer. Czy to naprawdę tak dużo? Wiem, głupie pytanie, ale skoro już rozmawiamy.
\(\displaystyle{ 10^{10000000000}=10^{10^{10}}\neq \left(10^{10}\right)^{10}=10^{100}}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Ja wcale nie muszę zgadywać, bo mam taką mądrą książkę, w której jest to napisane, może nie pamiętam dokładnie, ale mogę wstać po nią i przeczytać.
No bo jest sobie ciąg przybliżeń pierwiastka z dwóch i z każdym kolejnym wyrazem się zbliżamy do dokładnego rozwinięcia tego pierwiastka.

A dobra, bo to jest potęga potęgi. Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Jan Kraszewski »

Niepokonana pisze: 15 gru 2020, o 15:50Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
Myślę, że to jest kluczowe stwierdzenie. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) jest bytem idealnym, którego wystarczającym opisem jest definicja, która mówi, że jest to liczba, która podniesiona do kwadratu daje dwa. A jeżeli chcesz w przybliżeniu wiedzieć, ile ta liczba wynosi, to powinnaś zacząć od pytania, jak dokładne przybliżenie jest Ci potrzebne.

JK
szw1710

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: szw1710 »

Jan Kraszewski pisze: 15 gru 2020, o 18:21
Niepokonana pisze: 15 gru 2020, o 15:50Myślę, że mimo wszystko tak długie rozwinięcie nie jest mi potrzebne.
Myślę, że to jest kluczowe stwierdzenie. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) jest bytem idealnym, którego wystarczającym opisem jest definicja, która mówi, że jest to liczba, która podniesiona do kwadratu daje dwa. A jeżeli chcesz w przybliżeniu wiedzieć, ile ta liczba wynosi, to powinnaś zacząć od pytania, jak dokładne przybliżenie jest Ci potrzebne.

JK
Podobno z tego powodu upadła szkoła pitagorejska. Pitagorejczykom marzyło się wyrazić wszystko w postaci proporcji, a dokładniej, wydawało im się, że wszystkie odcinki są współmierne, czyli mają wspólną miarę. Odcinki o danych długościach \(a,b\) są współmierne, gay odłożymy je całkowitą liczbę razy w pewnym dłuższym odcinku, czyli jeśli \(ma=nb\) dla pewnych \(m,n\in\NN\), a co za tym idzie, \(\frac{a}{b}=\frac{n}{m}\in\QQ.\) Odkrycie, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem było wielkim zdziwieniem. W ten sposób odkryto liczby niewymierne.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: vpprof »

Niepokonana pisze: 15 gru 2020, o 12:33nie wiedziałam, że kalkulatory są aż tak mądre.
Kalkulator ma ten wielomian wpisany do pamięci, podstawia tylko liczbę. Kilkanaście mnożeń i dodawań, to wszystko.
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1897
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 512 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: mdd »

Odkopane: [Metody numeryczne] Obliczanie wartości funkcji elementarnyc



Cytat z powyższego:
Teachers of trigonometry and calculus thus may be surprised to learn what really happens when they ask their calculators to find square roots, cosines, and logarithms. It is hoped that this paper will help dispel a myth - that the calculus of infnite power series is at work - and that it will instead rekindle interest in the mathematics that lies at the heart of the versatile CORDIC algorithm - namely, trigonometric addition formulas and hyperbolic functions.

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC


Cytat z powyższego:
CORDIC and closely related methods known as pseudo-multiplication and pseudo-division or factor combining are commonly used when no hardware multiplier is available (e.g. in simple microcontrollers and FPGAs), as the only operations it requires are additions, subtractions, bitshift and lookup tables.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Dilectus »

Looknijcie tu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=NFnwR6VTPgQ
(Как вычислять корни без калькулятора ЕГЭ Математика 2018)

:)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: a4karo »

Dilectus pisze: 30 gru 2020, o 14:11 Looknijcie tu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=NFnwR6VTPgQ
(Как вычислять корни без калькулятора ЕГЭ Математика 2018)

:)
Fantastyczne metody wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych, które są kwadratami:
1) Rozłóż na iloczyn kwadratów
2) Zgadnij przybliżenie i popatrz na ostatnią cyfrę, żeby odgadnąc dokładną wartość.

Szkoda, że chłopakowi nikt nie powiedział, że nie wszystkie liczby sa takie fajne :oops: :roll:
Ostatnio zmieniony 30 gru 2020, o 18:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Dilectus »

Jak byłem w liceum (wczesne lata siedemdziesiąte), to na kółku matematycznym profesor uczył pisemnego obliczania pierwiastków dowolnej liczby naturalnej, ale było to tak dawno, że nie pamiętam. :)
ODPOWIEDZ