Na czym polega pierwiastkowanie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry
Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje. No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie? Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania? Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik? Wydaje mi się to mało efektywne. Jednakże każdy kalkulator umie pierwiastkować, jakoby było to oczywiste. Według mnie jest to co najmniej dziwne.
szw1710

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: szw1710 »

Liczba \(\sqrt{2}\) jest granicą ciągu przybliżeń wymiernych. Można zrobić tak: bierzemy
\[
\begin{aligned}
1&<\sqrt{2}<2\\
1.4&<\sqrt{2}<1.5\\
1.41&<\sqrt{2}<1.42\\
1.414&<\sqrt{2}<1.415\\
&\vdots
\end{aligned}
\]
Liczba \(\sqrt{2}\) jest wspólną granicą ciągów ograniczeń dolnych oraz górnych.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

No dobrze, dziękuję za odpowiedź, ale to nadal jest sprawdzanie liczb po kolei. Naprawdę pierwiastkowanie na tym polega? Ja w to nie wierzę. Na pewno musi być jakiś sposób, żeby to od tak wyliczyć.
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: kinia7 »

Sprawdź tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Algorytm_obliczania_pierwiastka_n-tego_stopnia


Dodano po 1 minucie 19 sekundach:
Jest również dość prosty sposób pisemnego obliczania pierwiastka drugiego stopnia.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Dasio11 »

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie?
Pierwiastkowanie polega na przypisaniu każdej liczbie nieujemnej \(\displaystyle{ y \ge 0}\) jedynego nieujemnego rozwiązania \(\displaystyle{ x}\) równania \(\displaystyle{ x^2 = y}\). A skąd to wiadomo? Bo od momentu, gdy ludzkość zdefiniowała w ten sposób pierwiastkowanie, ta wiedza jest przekazywana kolejnym pokoleniom matematyków na wykładach i w podręcznikach.

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania?
Co to znaczy "jaki"? Cechą w pełni charakteryzującą na przykład \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest to, że to liczba rzeczywista nieujemna, której kwadrat wynosi dwa. Jeśli chcesz zapytać skąd wiadomo, że ta liczba ma jakąś inną cechę, to musisz podać jaka to cecha.

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik?
Wiadomo że podnoszenie do kwadratu liczb nieujemnych jest funkcją rosnącą. Zatem jeśli policzymy że \(\displaystyle{ 1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2}\), to stąd natychmiast wynika, że \(\displaystyle{ 1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42}\), co wystarcza do stwierdzenia że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1{,}41}\).

Jeśli natomiast chodzi o wyznaczenie rozwinięcia dziesiętnego metodą lepszą niż na chybił-trafił, to jedną z bardziej efektywnych jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Newtona
. Konkretnie: dla ustalonej liczby \(\displaystyle{ p > 0}\) definiujemy rekurencyjnie ciąg

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{p}{a_n} \right) \end{cases}}\)

Można wykazać, że ten ciąg jest bardzo szybko zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) - obliczenie każdego kolejnego wyrazu mniej-więcej podwaja liczbę prawidłowych cyfr po przecinku.
szw1710

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: szw1710 »

Dasio11 pisze: 12 gru 2020, o 20:27 Jeśli natomiast chodzi o wyznaczenie rozwinięcia dziesiętnego metodą lepszą niż na chybił-trafił, to jedną z bardziej efektywnych jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Newtona
. Konkretnie: dla ustalonej liczby \(\displaystyle{ p > 0}\) definiujemy rekurencyjnie ciąg

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{p}{a_n} \right) \end{cases}}\)

Można wykazać, że ten ciąg jest bardzo szybko zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) - obliczenie każdego kolejnego wyrazu mniej-więcej podwaja liczbę prawidłowych cyfr po przecinku.
Funkcja \(f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{p}{x}\right)\) jest zwężająca ze stałą \(\frac{1}{2}.\) Z twierdzenia Banacha wynika, że\[|a_n-\sqrt{p}|\le\frac{1}{2^{n-1}}|a_1-a_0|=\frac{1-p}{2^n},\]więc istotnie ciąg \((a_n)\) jest bardzo szybko zbieżny i rację masz mówiąc o podwajaniu precyzji za każdym krokiem.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Dasio11 »

szw1710 pisze: 12 gru 2020, o 21:41Z twierdzenia Banacha wynika, że\[|a_n-\sqrt{p}|\le\frac{1}{2^{n-1}}|a_1-a_0|=\frac{1-p}{2^n},\]więc istotnie ciąg \((a_n)\) jest bardzo szybko zbieżny i rację masz mówiąc o podwajaniu precyzji za każdym krokiem.
Takie szacowanie nie wystarczy żeby uzasadnić to co napisałem - gdyby odległość \(\displaystyle{ |a_n-\sqrt{p}|}\) faktycznie była rzędu \(\displaystyle{ \frac{C}{2^n}}\), to co 3-4 kroki dostawalibyśmy jedną nową prawidłową cyfrę wyniku. Tymczasem zbieżność jest o wiele szybsza: liczba prawidłowych cyfr z każdą iteracją z grubsza się podwaja, co wynika z tożsamości

\(\displaystyle{ a_{n+1} - \sqrt{p} = \frac{1}{2 a_n} \left( a_n - \sqrt{p} \right)^2}\).
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Dziękuję za odpowiedzi, chociaż nie bardzo wierzę w ten algorytm, ale ok.
Panie Dasiu, chodzi o zapis liczby cyframi, żeby było wiadomo, gdzie mniej więcej jest na osi.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Elayne »

Eee, … zero zabawy.
Wybieram ułamki, np.:
\(\displaystyle{ \frac{30 \ 122 \ 754 \ 096 \ 401}{21 \ 300 \ 003 \ 689 \ 580}}\)
- jest całkiem dobrym przybliżeniem \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

Cóż, każdy lubi się bawić trochę inaczej, ale skąd brać takie ułamki?
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Elayne »

Temat troszkę zbyt obszerny by zawrzeć go w dwóch, trzech zdaniach. Tak w telegraficznym skrócie, przybliżamy wartość pierwiastka przy pomocy ułamków.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: a4karo »

A jak byś miała 7 palców, to pierwiastek z dwóch byłby czymś zupełnie innym
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Janusz Tracz »

W podobnym duchu do tego co pokazał Dasio11. Istnieją sposoby bazujące na równość:

\(\displaystyle{ \red{\sqrt {x}}=1+ \frac{x-1}{1+\blue{ \sqrt{x} }} }\)

i jej iteracjach. Niebieski pierwiastek zamieniasz czerwonym:

\(\displaystyle{ \red{\sqrt {x}}=1+ \frac{x-1}{1+ 1+ \frac{x-1}{1+\blue{ \sqrt{x}}}} = 1+ \frac{x-1}{2+ \frac{x-1}{1+\blue{ \sqrt{x}}}}}\)


\(\displaystyle{ \red{\sqrt {x}}= 1+ \frac{x-1}{2+ \frac{x-1}{1+1+ \frac{x-1}{1+\blue{ \sqrt{x} }} }}= 1+ \frac{x-1}{2+ \frac{x-1}{2+ \frac{x-1}{1+\blue{ \sqrt{x} }} }} }\)

\(\displaystyle{ \red{\sqrt {x}}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\ddots }}}}}}}\)

teraz można to uciąć na pewnej iteracji co daje niezłe przybliżenie przykładowo:

\(\displaystyle{ \sqrt {2}}\approx 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Niepokonana »

A ok dziękuję, czyli to tak jakby jest to wzór z granicami tak jakby?
Teraz już rozumiem, o co chodzi z pierwiastkami.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Na czym polega pierwiastkowanie

Post autor: Janusz Tracz »

Niepokonana pisze: 14 gru 2020, o 13:14 czyli to tak jakby jest to wzór z granicami tak jakby?
To stwierdzenie jest mocno nieprecyzyjne póki co. Bo formalnie jeszcze żadnej granicy nigdzie tu nie mamy. Wspólnym mianownikiem wypowiedzi szw1710, kinia7, Dasioa11 i mojej jest to, że pierwiastki liczy się jakimś algorytmem którego każdy następny krok pozwala na coraz lepsze odkrywanie dokładnej wartości \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\). To jak taki algorytm wygląda to już inna sprawa, a to jaki algorytm stosuje kalkulator to jeszcze inna kwestia implementacji algorytmu. Najprostsze algorytmy polegają po prostu na metodzie chybił trafił ale można je tak sformalizować (metodą dzielenia przedziału) by były skuteczne i deterministyczne były zbieżne do wartości \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\). Są też metody pisemne w słupku

Kod: Zaznacz cały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/algebra/2018/01/25/Pierwiastkowanie_pod_kreska/
oraz

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_obliczania_pierwiastka_kwadratowego
. To do poczytania jako ciekawostki. Twoje pytanie jest w ogóle dość skomplikowanym zagadnieniem w ogólność bo na początku piszesz:
Niepokonana pisze:Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje.
Ale jakby się tak nad tym głębiej zastanowić to wcale nie jest to takie oczywiste. Skąd kalkulator wie ile to jest \(\displaystyle{ \pi ^{ \sqrt{2} }}\) albo nawet \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} }\)? To nie jest wcale taki oczywiste. nawet samo mnożenie liczb niewymiernych nie jest banalne. Nie ma jakiejś (przynajmniej ja nie znam) interpretacji, że coś robimy \(\displaystyle{ n}\) razy tak jak w \(\displaystyle{ 2^4=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\) w liczbach niewymiernych. A skąd kalkulator wie ile to jest \(\displaystyle{ \sin 57^{\circ}}\) albo \(\displaystyle{ \lg_59}\)? Sprowadzić się to musi zawsze do dodawania bo tylko to komputer umie robić. A ogólne algorytmy mogą być bardzo dziwaczne. Przykładowo:
\(\displaystyle{ \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}\)

\(\displaystyle{ \log(1+z)={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{2-z+{\cfrac {2^{2}z}{3-2z+{\cfrac {3^{2}z}{4-3z+\ddots }}}}}}}}}\)

Gdy \(\displaystyle{ z=x^{n}+y}\)
\(\displaystyle{ {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}\)

to są przykładowe wzory które pozwalają przybliżyć niektóre funkcje jedynie za pomocą prostych działań które są algorytmiczne. Ogólnie to się nazywa ułamki łańcuchowe i chyba w kalkulatorach się tego nie stosuje (ale tego dokładnie nie wiem). Kalkulatory chyba mają wbudowane coś w rodzaju wzoru Taylora który też pozwala zwykle dość szybko określać wartość funkcji za pomocą prostych działań. Przykładowo przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \sqrt{10} }\) można wyznaczyć przybliżając go \(\displaystyle{ \sqrt{9} }\) jako:

\(\displaystyle{ {\sqrt {10}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(k)}(9)(10-9)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(k)}(9)}{k!}}\approx \sum _{k=0}^{N}{\tfrac {f^{(k)}(9)}{k!}}}\)

\(\displaystyle{ {\sqrt {10}}\approx {\sqrt {9}}+{\tfrac {1}{2{\sqrt {9}}}}-{\tfrac {1}{8({\sqrt {9}})^{3}}}+{\tfrac {3}{48({\sqrt {9}})^{5}}}=3+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{216}}+{\tfrac {1}{3888}}=3+{\tfrac {631}{3888}}\approx 3{,}162294238683127572016}\)

błąd takiego przybliżenia widać dopiero na piątym miejscu po przecinku. A są też metody które pozwalają na określenie na którym miejscu po przecinku pojawi się błąd, zatem mądry programista kalkulatora, który wyświetla nie więcej niż (powiedzmy) \(\displaystyle{ 10}\) cyfr, wie jak napisać kod tak by wszystkie te cyfry były prawdzie. A poza tym istnieją też ciekawe metody aproksymacji Padé w postaci funkcji wymiernej:

\(\displaystyle{ \sin(x)\approx {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/18183)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2}+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}}\)

\(\displaystyle{ \exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}\)

dające zaskakująco dobre przybliżenia (oczywiście lokalnie). Więc jak widać sprawa nie jest taka banalna. Ale większość tych metod można zalgorytmizować i napisać jako kod komputera. Co więcej większość tych metod jest od dawna znanych więc są dobrze zbadane i zwykle znany jest błąd jaki się popełnia. Więc można śledząc błąd pisać taki kod aby to co wyświetlamy na ekranie było pewne.

PS oczywiście nie wypisałem tego z głowy wszystkie te rzeczy można znaleźć w Internecie. Gównie odnośnikami z Wikipedii.
ODPOWIEDZ