Dlaczego z poniższego równania logarytmicznego wychodzą niepoprawne x-y

[zaeraan]

Wyznaczam dziedzinę:

\(\displaystyle{
D: x-2>0 \wedge x+4>0 \wedge \log_3 (x+4) \neq 0 \\
x>2 \wedge x>-4 \wedge x+4 \neq 3^0 \Rightarrow x \neq -3 \\
D: x>2
}\)

Mnożąc na samym początku na krzyż, wyjdzie x=5:

\(\displaystyle{
\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x+4)} = \frac{1}{2} \\
2\log_3(x-2) = \log_3(x+4)\\
\log_3(x-2)^2 = \log_3(x+4)\\
(x-2)^2=x+4\\
x^2-4x+4=x+4\\
x^2-5x=0\\
x(x-5)=0\\
x=0 \vee x=5
}\)

Jednak próbując zrobić to w inny sposób, korzystając z własności logarytmów, wychodzi mi zupełnie inny wynik:

\(\displaystyle{
\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b
}\)

\(\displaystyle{
\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x+4)} = \frac{1}{2} \\
\log_{(x+4)} (x-2) = \frac{1}{2} \\
(x+4)^{\frac{1}{2}} = x-2 / \sqrt{} \\
|x+4| = \sqrt{x-2}\\
x+4 = \sqrt{x-2} \vee x+4 = - \sqrt{x-2}\\
x=\sqrt{x-2}-4 \vee x=-\sqrt{x-2}-4
}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{
(x+4)^{\frac{1}{2}} = x-2 / \sqrt{} \\
|x+4| = \sqrt{x-2}}\)

Że co?!

\(\displaystyle{ \sqrt{(x+4)^{\frac{1}{2}}}=(x+4)^{\frac{1}{4}} }\)

JK

[a4karo]

A może warto zacząć od przedstawienia problemu?

[Niepokonana]

Ja mam pytanie. Skoro już założyliśmy, że iks jest większy od dwójki, to musimy rozważać oba przypadki wartości bezwzględnej \(\displaystyle{ |x+4|}\), skoro wiadomo, że i tak suma pod tą wartością bezwzględną jest większa od zera? Nie możemy opuścić wartości bezwzględnej?

\(\displaystyle{
(x+4)^{\frac{1}{2}} = x-2 / \sqrt{} \\
|x+4| = \sqrt{x-2}}\)

Że co?!

\(\displaystyle{ \sqrt{(x+4)^{\frac{1}{2}}}=(x+4)^{\frac{1}{4}} }\)

JK

Nie rozumiem. Chodzi Panu doktorowi o to, że powinno być \(\displaystyle{ |x+4|=(x-2)^{2}}\)? Nie rozumiem, skąd się wziął jakiś pierwiastek czwartego stopnia.

[JHN]

\(\displaystyle{ (x+4)^{\frac{1}{2}} = x-2 / \red{ \sqrt{}} \\
|x+4| = \sqrt{x-2}}\)

A powinno być
\(\displaystyle{ (x+4)^{\frac{1}{2}} = x-2\ |\red{^2} \\
x+4 = ( {x-2})^2\wedge x-2\ge0}\)

Pozdrawiam

[Dilectus]

Dlaczego z poniższego równania logarytmicznego wychodzą niepoprawne x-y

A gdzie jest to poniższe równanie logarytmiczne?

[Jan Kraszewski]

Nie rozumiem, skąd się wziął jakiś pierwiastek czwartego stopnia.

Bo \(\displaystyle{ \frac12\cdot\frac12=\frac14...}\) Tam oczywiście należało podnieść do kwadratu, a nie wyciągać pierwiastek, ale ja tylko pokazałem, gdzie został popełniony błąd w rachunkach.

JK