Dowód nierówności przez równoważne przekształcanie tezy

[inusia146]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ 2a+ \frac{49}{a} >14}\).

Dowód: Przekształcam równoważnie tezę:
\(\displaystyle{ 2a+ \frac{49}{a} >14 \ / \cdot a}\) (ok, bo \(\displaystyle{ a>0}\))
\(\displaystyle{ 2a^2+49>14a}\)
\(\displaystyle{ a^2+a^2-14a+49>0}\)
\(\displaystyle{ a^2+(a-7)^2>0}\)
Wiem, że dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ (a-7)^2 \geqslant 0}\). Z założenia \(\displaystyle{ a>0 \Rightarrow a^2>0}\). Stąd \(\displaystyle{ a^2+(a-7)^2>0}\), co kończy dowód.

Moje pytanie dotyczy przejścia: \(\displaystyle{ a>0 \Rightarrow a^2>0}\). Wiemy, że nie ma tu równoważności, tylko wynikanie. Czy to wynikanie wystarczy, czy przy równoważnym przekształcaniu tezy w tym miejscu też musi być przekształcenie równoważne?

[Jan Kraszewski]

Moje pytanie dotyczy przejścia: \(\displaystyle{ a>0 \Rightarrow a^2>0}\). Wiemy, że nie ma tu równoważności, tylko wynikanie. Czy to wynikanie wystarczy, czy przy równoważnym przekształcaniu tezy w tym miejscu też musi być przekształcenie równoważne?

Wystarczy. Przecież tego przejścia nie używasz w równoważnym przekształcaniu tezy.

Warto rozumieć to, co się robi. Najpierw (korzystając z założeń) równoważnie przekształciłaś tezę do postaci \(\displaystyle{ a^2+(a-7)^2>0}\), zatem przeformułowałaś dowodzone twierdzenie

"Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ 2a+ \frac{49}{a} >14}\)."

do postaci

"Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ a^2+(a-7)^2>0}\)."

Końcówka dowodu

"Wiem, że dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ (a-7)^2 \geqslant 0}\). Z założenia \(\displaystyle{ a>0 \Rightarrow a^2>0}\). Stąd \(\displaystyle{ a^2+(a-7)^2>0}\), co kończy dowód."

to właśnie uzasadnienie prawdziwości tego przeformułowanego wynikania (tam wyraźnie masz "jeśli..., to...").

JK