Równanie z Minimum

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Równanie z Minimum

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dla jakich \(\displaystyle{ x, y , z >1}\) jest \(\displaystyle{ \min( \sqrt{x+xyz} , \sqrt{y+ xyz}, \sqrt{z+ xyz} ) = \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} }\) ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z Minimum

Post autor: Premislav »

Dla ustalenia uwagi (potem sobie dorzucimy pozostałe przypadki przez zamianę zmiennych) niech \(\displaystyle{ x=\min\left\{x,y,z\right\}}\).
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\sqrt{t}}\) jest rosnąca, więc wówczas zachodzi
\(\displaystyle{ \min\left\{\sqrt{x+xyz}, \ \sqrt{y+xyz}, \ \sqrt{z+xyz}\right\}=\sqrt{x+xyz}}\) i nasze równanie upraszcza się do
\(\displaystyle{ \sqrt{x+xyz}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}}\)
Dla uproszczenia zapisu podstawmy \(\displaystyle{ a=\sqrt{x-1}, \ b=\sqrt{y-1}, \ c=\sqrt{z-1}}\), a otrzymamy formę
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(a^{2}+1\right)\left(\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right)+1\right)} =a+b+c}\)
Podnosimy to stronami do kwadratu i redukujemy wyrazy podobne, co daje
\(\displaystyle{ a^{2}+2+(abc)^{2}+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}=2ab+2bc+2ca\\ \left(a^{2}+1\right)(bc-1)^{2}+(a(b+c)-1)^{2}=0}\)

Oczywiście żeby suma kwadratów liczb rzeczywistych była równa zero, wszystkie te liczby muszą być równe zero, stąd łatwo dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}bc=1\\a(b+c)=1\end{cases}}\)
Stąd płynie wniosek, że
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{b+\frac{1}{b}}=\frac{1}{c+\frac{1}{c}}}\)
a ponieważ w rozważanym przypadku jest \(\displaystyle{ x=\min\left\{x,y,z\right\}}\), zaś \(\displaystyle{ f(t)=\sqrt{t-1}}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ t\ge 1}\), więc również jest \(\displaystyle{ a=\min\left\{a,b,c\right\}}\) i muszą też zachodzić relacje
\(\displaystyle{ \frac{1}{b+\frac{1}{b}}\le b, \frac{1}{c+\frac{1}{c}}\le c}\)
czyli \(\displaystyle{ b^{2}\ge 0, \ c^{2}\ge 0}\), które tłumaczą się w pierwotnych zmiennych jako \(\displaystyle{ y\ge 1, \ z\ge 1}\) (a mocniejsze nierówności, bo z ostrym znakiem nierówności, wynikają z założeń).
Ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{y-1}\sqrt{z-1}=1}\) oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}}}\), tj. \(\displaystyle{ x=1+\frac{1}{\left(\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^{2}}=1+\frac{1}{y+z}}\)
(przy czym skorzystałem z \(\displaystyle{ \sqrt{y-1}\sqrt{z-1}=1}\)).

Po pewnych uproszczeniach widzimy, że warunki zadania spełniają takie trójki liczb większych niż jeden, że dwie największe są nie mniejsze niż dwa, mają sumę taką samą jak iloczyn (z warunku \(\displaystyle{ \sqrt{y-1}\sqrt{z-1}=1}\) dostajemy po podniesieniu do kwadratu \(\displaystyle{ yz=y+z}\)), najmniejsza z nich jest odwrotnością sumy dwóch większych powiększoną o jeden. Tj.
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \frac{t^{2}+t-1}{t^{2}},\frac{t}{t-1},t\right), \ t>1}\) i permutacje.
ODPOWIEDZ