Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \\ \lfloor -(x+y) \rfloor = \lfloor -x \rfloor + \lfloor -y \rfloor \end{cases}}\)
to choć jedna z liczb \(\displaystyle{ x, y }\) jest całkowitą

W rzeczywistych zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \lfloor x+y\rfloor\ge \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor}\).
Równość ma miejsce wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\).
Z pierwszego równania układu wnioskujemy zatem, że \(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\), natomiast z drugiego równania dostajemy
\(\displaystyle{ \left\{-x\right\}+\left\{-y\right\}<1}\).
Gdy \(\displaystyle{ t\in \RR}\) nie jest liczbą całkowitą, to zachodzi tożsamość \(\displaystyle{ \left\{-t\right\}=1-\left\{t\right\}}\) (dowód trywialny, więc pomijam). Zatem gdyby żadna z \(\displaystyle{ x,y}\) nie była całkowita, to mielibyśmy zarazem
\(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1-\left\{x\right\}+1-\left\{y\right\}<1}\), czyli
\(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1, \ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}>1}\)
a to jest oczywista sprzeczność. Zatem co najmniej jedna z \(\displaystyle{ x,y}\) musi być całkowita, c.n.d.