Przekształcanie równań a znak równoważności i wynikania

[psi]

Witam!
Który z zapisów A czy B jest poprawny i dlaczego?
A. \(\displaystyle{ {x^2} - 4 = 0\,\, \Rightarrow \,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow \,\,x = - 2\,\,{\mathop{\rm lub}} \,\,x = 2}\)
B. \(\displaystyle{ {x^2} - 4 = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x = - 2\,\,{\mathop{\rm lub}} \,\,x = 2}\)

[Jan Kraszewski]

Oba są poprawne. No chyba, że dokładniej zdefiniujesz "poprawne", wtedy sprawdzimy.

JK

[psi]

Chodzi mi o znak pomiędzy równaniami, czy to ma być znak wynikania czy równoważności, a może nie ma to znaczenia? Pisząc kolejne przekształcenia równania czasami chcemy zaznaczyć, że koleje równanie z niego wynika i jakim symbolem to wyrażać?

[Jan Kraszewski]

Chodzi mi o znak pomiędzy równaniami, czy to ma być znak wynikania czy równoważności,

To zależy od tego, co chcesz przekazać...

a może nie ma to znaczenia?

Ma znaczenie. I powinieneś ich używać wtedy, gdy zrozumiesz, co znaczą.

Pisząc kolejne przekształcenia równania czasami chcemy zaznaczyć, że koleje równanie z niego wynika i jakim symbolem to wyrażać?

Wynikanie wyrażasz symbolem implikacji, pytanie brzmi jednak, czy istotnie chcesz przekazać właśnie to, co napisałeś. Bo jeżeli rozwiązujesz równanie metodą przekształceń równoważnych (co zazwyczaj ma miejsce), to implikacja jest za słaba. Przeczytaj

Kod: Zaznacz cały

https://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt3/skrypt/node3.html

, tam jest wyjaśniona różnica.

JK

[psi]

W takim razie co wyraża zapis A w moim pierwszym pytaniu, z co B? Jak zrozumiałby to ktoś komu przyszłoby to przeczytać?

[Jan Kraszewski]

W takim razie co wyraża zapis A w moim pierwszym pytaniu, z co B?

Zapis A oznacza, że jeśli równanie \(\displaystyle{ x^2-4=0}\) zachodzi, to \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=-2}\). Nie oznacza to, że \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2-4=0}\) - oznacza tylko, że jeśli równanie \(\displaystyle{ x^2-4=0}\) ma rozwiązanie, to mogą nim być wyłącznie liczby \(\displaystyle{ 2}\) bądź \(\displaystyle{ -2}\). Ale to, czy liczby te są faktycznie rozwiązaniami tego równania, będziemy widzieli dopiero po wykonaniu dodatkowego rozumowania, czyli sprawdzenia. Formalnie zatem zapis A nie wystarcza do rozwiązania tego równania.

Zapis B oznacza, że bycie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2-4=0}\) jest równoważne (tożsame) z byciem jedną z liczb \(\displaystyle{ -2,2}\). Zatem te liczby są jedynymi rozwiązaniami tego równania.

Jak zrozumiałby to ktoś komu przyszłoby to przeczytać?

A to bardzo zależy od tego, kto by to czytał... Zrozumienie tego, co napisałem powyżej, nie jest bardzo powszechne.

JK

[psi]

Dziękuję, za wyjaśnienie. Muszę się nad tym dłużej zastanowić.