udowodnić nierówność

[CaffeeLatte]

Udowodnić nierówność.Podać jej interpretację geometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in (-1, \infty )}\)
jak się za to zabrac?

[Premislav]

To zależy, z jakich narzędzi możesz skorzystać. Ja bym to zrobił tak:
niech \(\displaystyle{ f(t)=t\ln t, \ t>0}\). Mamy \(\displaystyle{ f''(t)=\frac{1}{t}>0}\), zatem \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ \RR^{+}}\).
Fakt: Wykres funkcji wypukłej leży nad styczną (to jest geometria właśnie) (*).
W szczególności zbadajmy styczną w punkcie \(\displaystyle{ t_{0}=1}\). Równanie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie ma postać \(\displaystyle{ y-f(t_{0})=f'(t_{0})(t-t_{0})}\), a oczywiście \(\displaystyle{ f(1)=0, \ f'(1)=1}\), czyli styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ t_{0}=1}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=t-1}\).
Z uwagi na (*) mamy więc dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in\RR^{+}}\),
\(\displaystyle{ t\ln t\ge t-1}\), teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t=1+x, \ x>-1}\), dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 1+x}\) i po dowodzie.

Dyskusyjne, czy możesz skorzystać ze wspomnianego przeze mnie faktu, ale nic innego geometrycznego nie przychodzi mi do głowy.

Dodano po 16 minutach 21 sekundach:
A całkowicie niegeometrycznie byłoby tak:
najpierw \(\displaystyle{ e^{t}\ge 1+t}\), dla \(\displaystyle{ t>-1}\) (można tego dowieść elementarnie);
możemy to zlogarytmować stronami, co daje równoważną nierówność
\(\displaystyle{ t\ge \ln(1+t)}\), następnie podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{1+t}-1}\), wówczas oczywiście jest \(\displaystyle{ x>-1}\), a nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}-1\ge \ln\left(\frac{1}{1+x}\right)\\-\frac{x}{1+x}\ge -\ln(1+x)\\\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)}\)
c.n.d.
Szczerze mówiąc, żadna inna interpretacja geometryczna niż ta ze stycznymi do wykresu funkcji nie przychodzi mi do głowy.

[a4karo]

Styczna do funkcji `\ln(1+x)` w punkcie `a` ma równanie `y(0)=\ln(1+a) +\frac{1}{1+a}(x-a)`. Styczna do krzywej wklęsłej leży nad nią, więc w szczególności `\ln(1)=0\leq y(0)=\ln(1+a)-\frac{a}{1+a}`

Dodano po 7 minutach 14 sekundach:
ALbo tak:
Popatrzmy na wykres funkcji ` f(t)=\frac{1}{1+t}`. Ta funkcja jest malejąca

Dla `x>0` pole pod wykresem tej funkcji między punktami `0` i `x` jest większe niż `\frac{x}{1+x}`, a z drugiej strony jest równe `\ln(1+x)`. Dla ujemnych `x` argument jest podobny