Nierówność z sinusami

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że w trójkącie
\(\displaystyle{ \sqrt{1 - \sin(\alpha) \sin(\beta)} + \sqrt{1 - \sin(\alpha) \sin(\gamma) } + \sqrt{1 - \sin(\gamma) \sin(\beta) } \geq \frac{3}{2}. }\)

[bosa_Nike]

Ukryta treść:    

Zmieniam oznaczenia kątów na \(\displaystyle{ A,B,C}\). Obie strony do kwadratu, wszystko na lewo, AM-GM, C-S.
$$\begin{aligned}&\kern-2em\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+2\sum\sqrt{(1-\sin A\sin B)(1-\sin B\sin C)}\\&\ge\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+2\sum\sqrt{\left(1-\frac{\sin^2A+\sin^2B}{2}\right)\left(1-\frac{\sin^2B+\sin^2C}{2}\right)}\\&=\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+\sum\sqrt{\left(\cos^2A+\cos^2B\right)\left(\cos^2B+\cos^2C\right)}\\&\ge\frac{3}{4}-\sum\sin A\sin B+\sum\sqrt{\left(\cos A\cos C+\cos^2B\right)^2}\\&\ge\frac{3}{4}+\sum (\cos A\cos B-\sin A\sin B)+\sum\cos^2A\\&=\frac{3}{4}+\sum\cos (A+B)+\sum\cos^2A\\&=\frac{3}{4}-\sum\cos A+\sum\cos^2A\\&=\sum\left(\cos A-\frac{1}{2}\right)^2\\&\ge 0\end{aligned}$$ Równość dla trójkątów równobocznych.